已知a,b,c都是正整數,且a的平方 b的平方c的平方,求證 1 a,b,c至少有偶數,2 a,b,c至少有能被3整除

2022-11-03 08:35:41 字數 2844 閱讀 4670

1樓:匿名使用者

1.答案:由於奇數的平方是奇數。偶數的平方是偶數。

如果a是奇數,b也是奇數,則c方應該是偶數;

如果a是偶數,b也是偶數,則c方應該也是偶數;

如果a是偶數,。。。已經有偶數了。一共三種情況。都有偶數。則第一題得證。

或者用反正法:如果a,b,c都是奇數,奇數的平方仍是奇數,則a的平方+b的平方應該是偶數,矛盾。

2.若都不能被3整除,可設a=3k+1或3k+2,b=3m+1或3m+2,分成四種組合分別考察,則c的平方除3餘數應該為:2,而c不論取3s+1或3s+2,其平方被3除的餘數只能為1矛盾

2樓:匿名使用者

1.a,b,c至少有一個偶數

不妨設a,b,c均為奇數

我們先證明一個命題

(2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1所以奇數的平方被4除餘1

如果a,b,均為奇數,那麼a^2+b^2被4除餘2,不可能是一個奇數的平方

命題得證

2.(3k)^2=9k^2=3*3k^2

(3k+1)^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1(3k+2)^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1所以一個整數的平方被3除的餘數只能是0或1如果a,b,c均不是3的倍數,則a^2+b^2被3除餘2也不可能是一個整數的平方得證

3樓:匿名使用者

1、如果a,b,c都是奇數,奇數的平方仍是奇數,則a的平方+b的平方應該是偶數,矛盾。

2、若都不能被3整除,可設a=3k+1或3k+2,b=3m+1或3m+2,分成四種組合分別考察,則c的平方除3餘數應該為:2,而c不論取3s+1或3s+2,其平方被3除的餘數只能為1矛盾

4樓:

1)設,c,b都是奇數,c=2m+1,b=2n+1a^2+b^2=c^2

a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)=(2m-2n)(2m+2n+2)

=4(m-n)(m+n+1)

所以,a^2是4的倍數

a是2的倍數

a是偶數

已知a、b、c均為正整數,且滿足a的平方+b的平方=c的平方,又a為質數,求證:①a、b兩數必為一奇一偶;

5樓:匿名使用者

1、c²-b²=(c+b)(c-b)=a²∵a為質數,故a²=1×a²或a²=a×a若為a×a,則b=0,a=c,矛盾

故c+b=a²,c-b=1。

因為c+b與c-b奇偶性版相同,故a²為奇權數,即a為奇數此時b=1/2(a²-1)為偶數

2、2(a+b+1)=2【a+1/2(a²-1)+1】=(a+1)²

6樓:匿名使用者

^①2是質數中唯一的

bai偶數。假定dua=2,則c^2-b^2=a^2=4,這

zhi時只有b=0、c=dao2才能成立,這和專b為正整數矛盾!屬所以a≠2。除2之外,其它質數均為奇數,假定a=2n+1,b=2m+1,m、n均為非負整數,a^2+b^2=4(m^2+n^2+m+n)+2=c^2,所以c^2能被2整除,但不能被4整除,這和c為整數矛盾,所以b不能是奇數,即b必為偶數,所以a和b必然是一奇一偶。

②a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b),由於a為質數,所以可設c-b=a^m,c+b=a^n,所以a^2=(c-b)(c+b)=a^(m+n),所以m+n=2,由於m、n為非負整數,且n>m,所以m=0,n=2,所以c-b=a^m=1,c+b=a^2,所以c=1+b=(1+a^2)/2,所以2(a+b+1)=2(a+c)=2(a+(1+a^2)/2)=(a+1)^2,所以2(a+b+1)是完全平方數(證畢)。

已知a,b,c為正整數,a為質數,且滿足方程a的平方+b的平方=c的平方。(1)求證:a的平方=2c-1。

7樓:匿名使用者

∵a²=c²-b²=(c+b)(c-b)

∵a為質數,b、c為整數

∴c+b≠c-b

∴只能是c-b=1,c+b=a²

解得:a²=2c-1

(2)由(1)知,c=(a²+1)/2 b=(a²-1)/2∴a+2(a²-1)/2-(a²+1)/2=70整理得,a²+2a-143=0

解得:a=11

已知a,b,c為正數,且a+b+c=1,求證a的平方/b+b的平方/c+c的平方/a大於等於1

8樓:陀傅香杜雁

證法一:

依柯西不等式得

a²/b+b²/c+c²/a

≥(a+b+c)²/(a+b+c)

=a+b+c

=1,故原不等式得證.

證法二:

依基本不等式得

a²/b+b≥2a,b²/c+c≥2b,c²/a+a≥2c.

三式相加,得

a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c=1.

故原不等式得證.

證法三:

不妨設a≥b≥c>0,依排序不等式得

a²/b+b²/c+c²/a

≥b²/b+c²/c+a²/a

=a+b+c

=1,故原不等式得證。

9樓:春玉英進婷

由3元均值不等式:1/a^2+27a+27a>=3倍3次根號下(1/a^2*27a*27a)=27,即1/a^2>27-54a

同理1/b^2>=27-54b

1/c^2>=27-54c

三式相加得1/a^2+1/b^2+1/c^2>=81-54(a+b+c)=27

當且僅當a=b=c=1/3,等號成立

∵a、b、c為互不相等的正數

∴1/a^2+1/b^2+1/c^2>27

高中數學。已知正整數的平方和為2019,且其中數的比為2 3 6,則這數為

首先從2 3 6入手,將比例數同乘以7得14 21 42,而14 21 42 2401,已經大於2009,所以這個所成的數一定小於等於6。將比例數同乘以6得12 18 36,而12 18 36 1764,2009 1764 245,不可整數開方 將比例數同乘以5得10 15 30,而10 15 30...

已知根號75n是整數,且n是正整數,則n的最小值是

75 25 3 25開方 5 要使根號75n是整數 所以再湊一個3就好了 所以n的最小值是 3 驗證根號75 3 根號225 15 祝學習進步 75n是整數,則正整數n的最小值是 75 25 3 25 5 要使 75n是整數 所以再湊一個3就好了所以n的最小值是 3 驗證 75 3 225 15 祝...

已知a,b,c都是正數,且abc1求根號a根號b

baia b duc 2 a b c 2 ab 2 zhibc 2 ca 而 2 ab daoa b 2 bc b c 2 ca c a 所以 a b c 2 a b c a b b c c a 3 a b c 3 從而回 a b c 3 所以最答大值是 3 已知a為 根號170 的整數部分,b 1...