1樓：甲魚的微笑
1.1 正弦和餘弦
例1 已知0°≤α≤90°.(1)求證:sin2α+cos2α=1;
(2)求證:sinα+cosα≥1,討論在什麼情形下等號成立;
(3)已知sinα+cosα=1,求sin3α+cos3α的值.
證明 (1)如圖6-1,當0°<α<90°時,sinα=bc/ab,cosα=ac/ab,所以在這種情形下
當α=0°時,sinα=0,cosα=1;當α=90°,sinα=1,cosα=0.所以在這兩種情形下仍有
sin2α+cos2α=1.
(2)如圖6-1,當0°<α<90°時,sinα=bc/ab,cosα=ac/ab.所以在這種情形下
當α=0°時,sinα+cosα=0+1=1;當α=90°時,sinα+cosα=1+0=1.所以當0°≤α≤90°時,總有
sinα+cosα≥1,
當並且只當α=0°或α=90°時,等號成立.
(3)由於已知sina+cosα=1.由(2)可知α=0°或α=90°,所以總有
sin3α+cos3α=1.
例2 求證:對於0°≤α≤90°,
證法一 如圖6-1,設bc=a,ac=b,ab=c.由銳角三角函式
當α=0°或α=90°時,容易驗證以上等式仍成立.
證法二點評 證法一是根據銳角三角函式的定義;證法二用了公式sin2α+cos2α=1.
證明一個三角恆等式成立,可變換等號左(右)端的式子,如得到等號右(左)端的式子,原恆等式就被證明了.一般對較複雜的式子進行變換,也可以對等號左,右的式子都進行變換,如得到相同的式子,原恆等式就被證明了.
1.2 正切和餘切
證明 (1)當0°<α<90°時,如圖6-2,
當α=0°時,tgα=0,sinα=0,cosα=1.所以仍有tgα=
(2)α必須滿足不等式:
0°<α<90°.
如圖6-2,
所以tgα·ctgα=1.
例2 已知銳角α,且tgα是方程x2-2x-3=0的一個根,求
解法一 x2-2x-3=0的兩根為3和-1.這裡只能是tgα=3.
如圖6-3,由於tgα=3.因此可設bc=3,ac=1,從而
解法二 tgα=3,用cos2α除原式分子,分母,得
證法一 如圖6-2,設bc=a,ac=b,ab=c,則
所以原式成立.
證法二 等式的左端
點評 這裡α≠0°,90°.
怎樣理解銳角三角函式的概念
答:現行初中幾何課本中給出銳角三角函式的定義,是依據這樣一個基本事實:在直角三角形中,當銳角固定時,它的對邊,鄰邊與斜邊的比值是一個固定的值.
關於這點,我們看圖1,圖中的直角三角形ab1c1,ab2c2,ab3c3,…都有一個相等的銳角a,即銳角a取一個固定值.如圖所示,許許多多直角三角形中相等的那個銳角疊合在一起,並使一條直角邊落在同一條直線上,那麼斜邊必然都落在另一條直線上.不難看出,
b1c1‖b2c2‖b3c3‖…,
∵△ab1c1∽△ab2c2∽△ab3c3∽…,
因此,在這些直角三角形中,∠a的對邊與斜邊的比值是一個固定的值.
根據同樣道理,由"相似形"知識可以知道,在這些直角三角形中,∠a的對邊與鄰邊的比值,∠a的鄰邊與斜邊的比值都分別是某個固定的值.
這樣在△abc中,∠c為直角,我們把銳角a的對邊與斜邊的比叫做∠a的正弦,記作sina;銳角a鄰邊與斜邊的比叫做∠a的餘弦,記作cosa;銳角a的對邊與鄰邊的比叫做∠a的正切,記作tga;銳角a的鄰邊與對邊的比叫做∠a的餘切,記作ctga,於是我們得到銳角a的四個銳角三角函式,即
深刻理解銳角三角函式定義,要注意以下幾點:
(1)角a的銳角三角函式值與三角形的大小,即邊的長短無關.
只要角a一旦確定,四個比值就隨之而定;角a變化時.四個比值對應變化.這正體現了函式的特點,銳角三角函式也是一種函式,這裡角a是自變數,對於每一個確定的角a,上面四個比值都有唯一確定的值與之對應,因此,銳角三角函式是以角為自變數,以比值為函式值的函式.
(2)準確理解銳角三角函式定義,要熟記每個銳角三角函式是怎樣規定的,是角的哪條邊與哪條邊的比;在具體應用定義時,要注意分清圖形中,哪條邊是角的對邊,哪條邊是角的鄰邊,哪條邊是斜邊.
[例] 求出圖2中sind,tge的值.
(3)"sina"等是一個完整的符號.
整的符號,不能看成sin與a的乘積.離開角a的"sin"沒有什麼意義,其他三個cosa,tga,ctga等也是這樣.所以寫時不能把"sin"與"a"分開.
銳角三角函式定義把形與數結合起來,從事物的相互聯絡去觀察,對直角三角形不是孤立地看它的角,它的邊,而是抓住了它們之間的聯絡,從而為深入研究問題開啟了思路,奠定了基礎.從定義的匯出過程不難看出,銳角三角函式是數(比值)和形(角a)完美結合的結果,同學們應該在學習中很好地體會和掌握這種研究問題的思想方法.
計算 解答題
3. 在rt△abc中,∠c=90°,若sina是方程5x2 -14x+8=0的一個根,求sina,tga.
4. q為三角形的一個角,如果方程10x2-(10cosq)x-3cosq+4=0有兩個相等的實數根,求tgq.
答案 3. 解:∵sina是方程5x2-14x+8=0的一個根
則5sin2a-14sina+8=0
4. 解:∵100cos2q-40(4-3cosq)=0
即5cos2q+6cosq-8=0
2樓：匿名使用者
初中範圍內只講直角三角形。
正弦：角的對邊比斜邊
餘弦：角的鄰邊比斜邊
正切：角的對邊比鄰邊
如果在高中推廣到任意角 那麼就更復雜些了
3樓：
不知道你問的是不是正弦定理與餘弦定理。
正弦定理：對邊比上該腳的正弦是個定值
用式子表示就是
a b c
----- = ----- = -----sin a sin b sin c餘弦定理的話
b²+c²-a² a²+c²-b² a²+b²-c²
cos a = -------- cos b = --------- cos c = ---------
2bc 2ac 2ab
4樓：
高中的三角函式也不難呀,只是把角放在單位圓裡了,所以可以求任意角的三角函式,如果樓主想在學深一點的話,可以去看一看,這對於你遇到的問題也很有幫助.
5樓：匿名使用者
初中三角函式應該是直角三角形吧!
6樓：佴宕琴恬欣
畫單位圓，任選一個滿足條件的角a，在單位圓圖上畫出，在角與單位圓的交點處作垂直於x軸的線段（即sina的大小），然後在單位圓與x軸的交點處作垂直於x軸的直線，交於角a的一條射線上（所得線段即為tana的大小）。你還會發現角a所對應的單位圓弧長即為cosa的大小。
從而，三個三角函式的比較轉化為3條線段的比較。看得出：sina小於cosa小於tana。
（難為他了，這是高中數學書上的證明方法）
求關於初中三角函式的所有知識點
7樓：初中數學課堂
你這個問題太大，範圍太廣了。還是建議你把具體題目拿出來討論吧。
8樓：你的眼神唯美
不定積分結果不唯一求導驗證應該能夠提高湊微分的計算能力先寫別問唉。。
因式分解配方法。
平方差公式+完全平方公式。。
初中常用三角函式公式。
9樓：星願老師
如下圖：
三角函式是數學中屬於初等函式中的超越函式的函式。它們的本質是任何角的集合與一個比值的集合的變數之間的對映。通常的三角函式是在平面直角座標系中定義的。
其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中，但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解，將其定義擴充套件到複數系。
三角函式公式看似很多、很複雜，但只要掌握了三角函式的本質及內部規律，就會發現三角函式各個公式之間有強大的聯絡。而掌握三角函式的內部規律及本質也是學好三角函式的關鍵所在。
10樓：匿名使用者
三角函式公式
正弦（sin）:角α的對邊比上斜邊
餘弦（cos）:角α的鄰邊比上斜邊
正切（tan）:角α的對邊比上鄰邊
餘切（cot）:角α的鄰邊比上對邊
正割（sec）:角α的斜邊比上鄰邊
餘割（csc）:角α的斜邊比上對邊
sin30°=1/2
sin45°=根號2/2
sin60°=根號3/2
cos30°=根號3/2
cos45°=根號2/2
cos60°=1/2
tan30°=根號3/3
tan45°=1
tan60°=根號3
11樓：靳蘊和曠北
誘導公式
sin(-α)
=-sinα
cos(-α)
=cosα
tan(—a)=-tanα
sin(π/2-α)
=cosα
cos(π/2-α)
=sinα
sin(π/2+α)
=cosα
cos(π/2+α)
=-sinα
sin(π-α)
=sinα
cos(π-α)
=-cosα
sin(π+α)
=-sinα
cos(π+α)
=-cosα
tana=
sina/cosa
tan（π/2＋α）＝－cotα
tan（π/2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα
兩角和與差的三角函式公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ二倍角的正弦、餘弦和正切公式
三倍角的正弦、餘弦和正切公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
12樓：招鵬鯨清可
倍角公式
sin2a=2sina*cosa
cos2a=cosa^2-sina^2=1-2sina^2=2cosa^2-1
tan2a=（2tana）/（1-tana^2）
（注：sina^2
是sina的平方
sin2（a）
）半形公式
tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa);
cot(a/2)=sina/(1-cosa)=(1+cosa)/sina.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
兩角和差
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
誘導公式
sin(-α)
=-sinα
cos(-α)
=cosα
tan(—a)=-tanα
sin(π/2-α)
=cosα
cos(π/2-α)
=sinα
sin(π/2+α)
=cosα
cos(π/2+α)
=-sinα
sin(π-α)
=sinα
cos(π-α)
=-cosα
sin(π+α)
=-sinα
cos(π+α)
=-cosα
tana=
sina/cosa
tan（π/2＋α）＝－cotα
tan（π/2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα
誘導公式記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限
萬能公式
sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］
cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］
tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］
初中三角函式問題！！急！三角函式問題，急！
畫單位圓，任選一個滿足條件的角a，在單位圓圖上畫出，在角與單位圓的交點處作垂直於x軸的線段 即sina的大小 然後在單位圓與x軸的交點處作垂直於x軸的直線，交於角a的一條射線上 所得線段即為tana的大小 你還會發現角a所對應的單位圓弧長即為cosa的大小。從而，三個三角函式的比較轉化為3條線段的比...
高中三角函式問題。急，跪求！有加分
ab tan a 4 cosa 2 m tana tan 4 cosa 1 tanatan 4 m 2 sina cosa 1 tana m 2分子分母同時乘以cosa cos 2a sinacosa cosa sina m 2而所求的式子為2cos 2a sin2 a cos a sin a 2c...
高中三角函式計算題，高一三角函式計算題（19）
因為倍角公式sin2 5 2 cos 5 sin 5 所以cos 5 sin2 5 2 sin 5 所以原式 sin2 5 cos2 5 2 sin 5 又因為倍角公式 sin2 5 cos2 5 sin4 5 2 所以原式 sin4 5 4 sin 5 因為sin 5 sin4 5 所以原式 1 ...