1樓：義明智
解:a^4+b^4-a^3b-ab^3
=(a-b)a^3-(a-b)b^3
=(a-b)(a^3-b^3)
=((a-b)^2)*(a^2+ab+b^2)=((a-b)^2)*((a+(1/2)b)^2)+(3/4)b^2)
(a-b)^2≥0,(a+(1/2)b)^2)+(3/4)b^2≥0∴a^4+b^4-a^3b-ab^3≥0
即 a⁴+b⁴≥a³b+ab³
2樓：仁新
a^4+b^4-(a^3b+ab^3)
=a^3(a-b)-b^3(a-b)
=(a-b)(a^3-b^3)=(a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2)
=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)，這裡因為a,b都是正實數，
那麼（a-b）^2>=0恆成立，
a^2+ab+b^2=(a+1/2b)^2+3/4b^2>=0也恆成立，
所以a^4+b^4-(a^3b+ab^3)>=0恆成立，也就是說a^4+b^4>=a^3b+ab^3恆成立
3樓：匿名使用者
因為a、b均為正實數
所以（a-b）²≥0
a²+ab+b²也必定＞0
所以兩式相乘得到的結果也是≥0的
所以（a-b）（a-b）（a²+ab+b²）≥0即（a-b）（a³-b³）≥0
所以a⁴-ab³-a³b+b⁴≥0
即：a⁴+b⁴≥ab³+a³b
4樓：匿名使用者
a4+b4-a3b-b3a a3(a-b)+b3(b-a) a3(a-b)-b3(a-b) (a3-b3)(a-b) 已知a,b是正實數 (a3-b3)(a-b) ≥0 a⁴+b⁴≥a³b+ab³
已知abc為正實數,滿足a的平方=b(b+c),b的平方=c(c+a),求證a分之1+b分之1=c分之1
5樓：
a²=b(b+c) b²=c(c+a)b²-c²=ac
a=(b²-c²)/c
(b²-c²)² /c²=b(b+c)
(b²-c²)²=c²b(b+c)
b⁴+c⁴-3b²c²-bc³=0
b²/c²+c²/b² -3-c/b=0
令c/b=k b=c/k
1/k²+k²-3-k=0
k⁴-k³-3k²+1=0 (k+1)(k³-2k²-k+1)=0得k³-2k^2-k+1=0
a=(b²-c²)/c=(c²/k²-c²)/c=(c/k²-c)=c(1/k²-1)
所以1/a+1/b
1/c(1/k²-1) +k/c=1/c
1/(1/k²-1) +k=1
1/(1/k²-1)=1-k
1=(1-k)(1/k²-1)=(1-k)(1-k²)/k²k²=1-k²-k+k³
k³-2k²-k+1=0 成立
所以1/a+1/b=1/c
若a,b,c屬於r,且5a^4+4b^4+6c^4=90,則5a^3+2b^3+3c^3的最大值是多少?
6樓：匿名使用者
由均值不等式, 3a⁴+16 = a⁴+a⁴+a⁴+16 ≥ 4·(a⁴·a⁴·a⁴·16)^(1/4) = 8|a|³.
即得5a³ ≤ 5|a|³ ≤ 5/8·(3a⁴+16) = 15a⁴/8+10 ①.
仍由均值不等式, 3b⁴+1 = b⁴+b⁴+b⁴+1 ≥ 4·(a⁴·a⁴·a⁴·1)^(1/4) = 4|b|³,
得2b³ ≤ 2|b|³ ≤ (3b⁴+1)/2 = 3b⁴/2+1/2 ②.
同理3b⁴+1 ≥ 4|c|³, 故3c³ ≤ 3|c|³ ≤ 3/4·(3c⁴+1) = 9c⁴/4+3/4 ③.
①+②+③得5a³+2b³+3c³ ≤ 15a⁴/8+10+3b⁴/2+1/2+9c⁴/4+3/4 = 3(5a⁴+4b⁴+6c⁴)/8+45/4 = 45.
可驗證a = 2, b = c = 1時等號成立.
即所求最大值就是45.
注: 其實我是先猜到取等條件, 再根據取等條件用均值不等式放縮.
如果猜不到取等條件, 可以用待定係數法.
如果知道holder不等式, 可以有如下方法.
根據holder不等式, (5a⁴+4b⁴+6c⁴)^(3/4)·(5+1/4+3/8)^(1/4) ≥ 5|a|³+2|b|³+3|c|³.
故5a³+2b³+3c³ ≤ 90^(3/4)·(45/8)^(1/4) = 45^(3/4)·45^(1/4) = 45.
等號成立當且僅當a, b, c > 0並滿足5a⁴:4b⁴:6c⁴ = 5:1/4:3/8, 可解得a = 2, b = c = 1.
常見的反向不等式的結論也是反向的, 即能夠給出的是最小值.
例如: 已知實數a, b, c滿足a²+b²+c² = 1, 求a⁴+b⁴+c⁴的最小值.
可直接由cauchy不等式(1+1+1)(a⁴+b⁴+c⁴) ≥ (a²+b²+c²)² = 1得a⁴+b⁴+c⁴ ≥ 1/3.
可驗證|a| = |b| = |c| = 1/√3時等號成立.
不過最大值也是存在的:
由0 ≤ a², b², c² ≤ 1, 有a⁴ ≤ a², b⁴ ≤ b², c⁴ ≤ c².
故a⁴+b⁴+c⁴ ≤ a²+b²+c² = 1.
可驗證在|a| = 1, b = c = 0及其輪換情形取得等號.
已知正實數a,b滿足a 1 b 2 b 1 a 2 1，求證 a 2 b 2 1，如果將 1 a 2）改為 2 a 2）其結果如何
注 該題用 柯西不等式 證明較簡單。請注意使用 柯西不等式 時，一些注意事項。易知，1 a 0,且1 b 0.同時，a 0,b 0 由題設條件及 柯西不等式 可得 1 a 1 a 1 b b a 1 b b 1 a 1.a 1 a 1 b b a 1 b b 1 a 此時，柯西不等式 取得等號。由 ...
已知實數ab滿足ab1,ab2,求a2bab
試一下。a b 2 a b 2 4ab 4 4 0所以a b 0 所以a b 1 代入原式得2 a 2b ab 2 ab a b 1 2 2 a2b ab2 ab a b ab 1 a b 2 a2b ab2 ab a b 1 2 2 已知實數a,b滿足等式a 2 2a 1 0,b 2 2b 1 0...
已知a,b為實數,且根號a52根號102ab4,求
由根號a 5有意義且根號10 2a有意義則a 5大於等於,10 2a大於等於0,即a只能為5,所以 10 b 4,b 14 已知a,b為實數,且根號a 5 2根號10 2a b 4,求a,b,的值 已知 a 5 2 10 2a b 4 解 欲使根式有意義,a 5 0,10 2a 0,得a 5且a 5...