1樓：匿名使用者
|a+e|=|(a+e)t|=|at+e|=|a'+e|=|a'(e+a)|=|a'||e+a|
|a+e|(1-|a'|)=0
|a+e|=0
2樓：life劉賽
你好，證明過程如圖所示，運用了矩陣裡面的公式。
線性代數矩陣的一道證明題。 已知矩陣a,b是可交換的,證明:矩陣a+b與a-b是可交換的
3樓：匿名使用者
因為ab=ba，所以
(a+b)(a-b)=a²-ab+ba-b²=a²-b²(a-b)(a+b)=a²+ab-ba-b²=a²-b²即 (a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)，證畢。
一道線性代數的證明題
4樓：匿名使用者
對稱矩bai陣?就當元素都是實數了du
那麼是對稱zhi矩陣可以對角化dao
，即a=h∧
內h'=h ∧1 h' +h ∧2 h'+h ∧3 h' +....h ∧k h'+......h ∧n h'
其中容∧k是k行k列為特徵值λk的秩等於1的對稱矩陣
5樓：匿名使用者
因為.................................
一道線性代數題 設a為正定矩陣，證明：a^k 也是正定矩陣(k為正整數)
線性代數證明題：設a為n階方陣，a^n=0但a^(n-1)≠0……
6樓：匿名使用者
^由於 a^n = 0
所以 a^(n-1) (a^kη) = a^(n-1+k)η = 0, k=1,2,...,n-1
所以 aη,a^2η,...,a^(n-1)η 都是 a^(n-1)x=0 的解
由於 a^(n-1)≠0
所以 r(a^(n-1)) >=1
所以 a^(n-1)x=0 的基礎解系含 n-r(a^(n-1)) <= n-1 個向量
所以只需證明 aη,a^2η,...,a^(n-1)η 線性無關, 則它就是a^(n-1)x=0 的基礎解系
設 k1aη+k2a^2η+...+kn-1a^(n-1)η=0 (1)
等式兩邊乘a^(n-2), 則已知得 k1a^(n-1)η=0
由於 a^(n-1)η≠0, 所以 k1=0.
(1)式化為 k2a^2η+...+kn-1a^(n-1)η=0 (2)
等式兩邊乘a^(n-3), 則已知得 k2a^(n-1)η=0
由於 a^(n-1)η≠0, 所以 k2=0.
(1)式化為 k3a^3η+...+kn-1a^(n-1)η=0 (3)
如此下去得 k1=k2=...=kn-1=0
所以 aη,a^2η,...,a^(n-1)η 線性無關.
所以 aη,a^2η,...,a^(n-1)η 是a^(n-1)x=0 的基礎解系
7樓：匿名使用者
要證：a^k η ，k從1到n-1 是 a^(n-1) x = 0 的基礎解系。
首先，對任意 k，a^k η 都是解，這是因為：
a^(n-1) (a^k η) = a^(k-1) (a^n η) = a^(k-1) 0 = 0
其次，由於 a^(n-1) ≠ 0，所以 a^(n-1) 的秩至少是1。
所以，n階矩陣 a^(n-1) 的零空間至多有 n-1 維。
所以，如果 a^k η ，k從1到n-1 這 n-1 個向量線性無關的話，那麼它們必然構成一個基礎解系。
下面我們證明 a^k η ，k從1到n-1 線性無關。
用數學歸納法。
第1步，a^(n-1) η 線性無關，就一個向量，當然線性無關。
第2步，a^(n-1) η 和 a^(n-2) η 線性無關。
因為 a^(n-1) η = a (a^(n-2) η) ≠ 0，所以 a^(n-2) η 不在 ax = 0 的零空間中。
而 a^n η = a (a^(n-1) η) = 0，所以 a^(n-1) η 在 ax = 0的零空間中。
因為零空間是線性子空間，所以屬於它的向量和不屬於它的向量線性無關。
……第m步，假設 a^(n-1) η、a^(n-2) η、...、a^(n-m+1) η 都已線性無關，要證 a^(n-m) η 也與它們都線性無關。
因為 a^(n-1) η = a^(m-1) (a^(n-m) η) ≠ 0，所以 a^(n-m) η 不在 a^(m-1)x = 0 的零空間中。
而對於任意 k < m，a^(n+m-k-1) η = a^(m-1) (a^(n-k) η) = 0，
所以，對於任意 k < m，a^(n-k) η 在 a^(m-1)x = 0的零空間中。
因為零空間是線性子空間，所以屬於它的向量和不屬於它的向量線性無關。
……綜上，所有的 a^k η ，k從1到n-1 線性無關。
最後，多說幾句，關於冪零矩陣的性質。
一般的n階冪零矩陣：a^m = 0，但 a^(m-1) ≠ 0。
m不一定等於n，可以證明：m<=n。
a、a^2、...、a^m 的零空間是真包含關係：
ker(a) < ker(a^2) < ... < ker(a^(m-1)) < ker(a^m) = v
其中，ker(a^k) 代表 a^k 的零空間，< 代表真包含的符號（打不出來）。
可以這麼證：
首先，若 a^k x = 0，則 a^(k+1) x = a (a^k x) = 0，所以 ker(a^k) <= ker(a^(k+1))。
再證明它們是真包含，也就是把等號去掉。
反證法。假設 ker(a^k) = ker(a^(k+1))
對於任意的x，若 a^(k+2) x = 0，即 a^(k+2) x = a^(k+1)(ax) = 0，
所以 ax ∈ ker(a^(k+1)) = ker(a^k)，所以 a^k (ax) = a^(k+1) x = 0，
所以 ker(a^(k+2)) = ker(a^(k+1)) = ker(a^k)
於是，這麼推下去，對於任意的 p > k，ker(a^p) = ker(a^k)
最後有：v = ker(a^m) = ker(a^k)，也就是 a^k 必須全零，矛盾。
再結合我們這道題：a^n = 0，a^(n-1) ≠ 0。
ker(a) < ker(a^2) < ... < ker(a^(n-1)) < ker(a^n) = v
所以，只能是：ker(a^k) 是個k維空間，有k個線性無關的向量。
而 a^(n-k) η 就是 ker(a^k) 比前面的空間多出的那個線性無關的向量。
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