1樓：
法一：因為2(a+b+c)=2,所以由cauchy不等式
[(a+b)+(b+c)+(c+a)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)]>=
(1+1+1))^2=9
即2[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)]>=9
所以1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2
法二：把 a+b+c=1代入1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2
得2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3
由對稱性不妨設a<=b<=c,則a+b<=a+c<=b+c,1/(b+c)<=1/(a+c)<=1/(a+b),由排序不等式正序和》=亂序和》=逆序和，有
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=b/(b+c)+c/(a+c)+a/(a+b)
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=c/(b+c)+a/(a+c)+b/(a+b)
兩式相加得2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3
所以原不等式成立。證畢！
2樓：匿名使用者
由於全部條件對稱,所以a=b=c=1/3
所以1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/22(a+b+c)=2
利用柯西不等式:
(a+b+b+c+c+a)*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=(1+1+1)^2=9
所以1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2
3樓：匿名使用者
2(a+b+c)=2
利用柯西不等式:
(a+b+b+c+c+a)*(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c))>=(1+1+1)^2=9
所以1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2樓上純粹胡說 不算證明
4樓：匿名使用者
2樓的對.不過這不是柯西不等式:
已知a,b,c均為正數且a+b+c=1求證(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)≥64
5樓：匿名使用者
(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)
=1+ (1/a+1/b+1/c) + (1/ab+1/bc+1/ca) +1/abc
=1+ (1/a+1/b+1/c) + (a+b+c)/abc +1/abc
=1+ (1/a+1/b+1/c) + 2/abc
其中由柯西不等式，
(1/a+1/b+1/c)(a+b+c) ≥（1+1+1)^2 = 9，
而a+b+c=1，所以(1/a+1/b+1/c)≥9。
由幾何不等式，
a+b+c=1≥3(abc)^1/3，
所以abc ≤1/27 1/abc≥27，
因此(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=1+ (1/a+1/b+1/c) + 2/abc ≥1+9+2*27=64
已知a,b,c為正數,且a+b+c=1,求證(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)>1000/27
6樓：匿名使用者
1]不妨設a≥b≥c＞0.
由題設a+b+c=1及a,b,c均為正數易知,0＜c≤b≤a＜1,且0＜c≤1/3
[2]建構函式f(x)=x+(1/x).0＜x＜1易知,該函式在(0,1)上遞減
由0＜c≤b≤a＜1可知
0＜f(c)≤f(b)≤f(a),即
∴f(a)*f(b)*f(c)≥f³(c)＞0即(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥(c+1/c)³[[3]]
∵函式f(x)=x+(1/x)在(0,1/3]上遞減.
∴結合c∈(0,1/3]可知,恆有
f(c)≥f(1/3)=3+(1/3)=10/3∴f³(c)≥(10/3)³=1000/27綜上可知.
(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)≥1000/27
已知a,b,c均為正數,且a+b+c=2,求證:1/a+1/b+1/c≥9/2
7樓：匿名使用者
證明：1/a+1/b+1/c
=（2/a+2/b+2/c )/2
=[(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c ]/2
=[1+(b+c)/a+1+(a+c)/b+1(a+b)/c ]/2=[3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a]/2∵b/a+a/b≥2，c/a+a/c≥2，c/b+b/c≥2∴[3+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)+(a/b+b/a)]/2 ≥(3+2+2+2 )/2=9/2
∴1/a+1/b+1/c≥9/2
當且僅當a=b=c時，取等號。
a,b,c均為正數，且a+b+c=1,求證： 1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c)大於等於2/(1+a)+2/(2+b)+2/(2+c)
8樓：匿名使用者
1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c)大於等於2/(1+a)+2/(1+b)+2/(1+c)
9樓：匿名使用者
a,b,c均為正數，且a+b+c=1,求證： 1/(1-a)+1/(1-b)+1/(1-c)大於等於2/(1+a)+2/(1+b)+2/(1+c)
10樓：周友錢
你還是去問問其他人吧，我現在沒有學數學了，都沒法做了。不好意思哈！
已知a,b,c為互不相等的正數,且abc=1,求證:根號a+根號b+根號c<1/a+1/b+1/c
11樓：匿名使用者
證明：（分析法）
abc=1
1/a+1/b+1/c……（代入：1=abc。）
=bc+ac+ab
=1/2(2bc+2ac+2ab)
=1/2[(ab+ac)+(ba+bc)+(ca+cb)]
=1/2[a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)]……〔代入：b+c≥2√(bc)，a+c≥2√(ac)，a+b≥2√(ab)。〕
≥1/2[a*2√(bc)+b*2√(ac)+c*2√(ab)]……①
=a√(bc)+b√(ac)+c(ab)……（代入：bc=1/a，ac=1/b，ab=1/c。）
=a√(1/a)+b√(1/b)+c√(1/c)
=√a+√b+√c
因為，abc不相等，所以，a+c≥2√(ac)，b+c≥2√(bc)，b+a≥2√(ba)中的等號不同時取得。
則，①列的符號「≥ 」 應該換成符號「＞」。
即，原式得證。
…………
關鍵：1，1的代換。在高中不等式證明裡面，這個技巧經常用的。
2，重要不等式要牢記。
12樓：匿名使用者
1/a+1/b+1/c=bc+ac+ab>根號a^bc+根號b^ac+根號c^2ab=根號a+根號b+根號c
已知a,b,c都是正數,且abc1求根號a根號b
baia b duc 2 a b c 2 ab 2 zhibc 2 ca 而 2 ab daoa b 2 bc b c 2 ca c a 所以 a b c 2 a b c a b b c c a 3 a b c 3 從而回 a b c 3 所以最答大值是 3 已知a為 根號170 的整數部分,b 1...
已知a,b,c為不等的正數，且abc 1，求證a
a b c 3 abc 所以1 a 1 b 1 c 3 1 a1 b1 c又因為abc 1 所以 本題可構造來區域性不等式 源注意到由條件baiabc 1可知 1 a bc 1 b ac 1 c ab 所以由均值不等式 du1 a 1 b bc ac 2 abc 2 又由abc 1，則zhiabc ...
已知a,b,c為正數，且a 3 b 3 c 3 3abc,求
將已知等式通過分解因式即可求得。證 a 3 b 3 c 3 3abc 0 a b a 2 ab b 2 c c 2 3ab 0 a b a 2 ab b 2 c c 2 3ab a 2 ab b 2 a 2 ab b 2 0 a b a 2 ab b 2 c c 2 a 2 2ab b 2 a 2 ...