0上有二階連續導數,且對任意x0有fxk,其中k0,為一常數,f 0 0證明 f x 在

2021-08-04 10:09:17 字數 2005 閱讀 6699

1樓:匿名使用者

由x>=0有f''(x)>=k,其中k>0可知f『(x)是一次函式 可寫成f』(x)=kx+b 其中k大於0

那麼f(x)=k*x的平方+bx+c k大於0 是一二次函式開口向上,由f(0) <0可知頂點在 f(x)在(0,+∞)上有且只有一個零點

2樓:匿名使用者

證明:對任意的t>=0,有f''(t)>=k>0,兩邊對t從0積分到x(x>0),得到變上限積分

xf'(x)-f'(0)≥∫ kdt=kx,於是,對於任意的x>0有f'(x)≥kx+f'(0)成立。

0也即,對於任意的s>0有f'(s)≥ks+f'(0)成立。兩邊在對s從0積分到x(x>0),得到變上限積分

xf(x)-f(0)≥∫ ks+f'(0)=1/2*kx^2+f'(0)*x

0於是,對於任意的x>0有f(x)≥1/2*kx^2+f'(0)*x+f(0)成立。

當x->+∞時,1/2*kx^2>0且為比f'(0)*x+f(0)更高階的∞,於是此時有f(x)->+∞。因f(0)<0,由中值定理可知,必存在一正根x0>0,滿足f(x0)=0。也即f(x)在(0,+∞)上必有零點。

現證其唯一性。不妨設除正根x0>0滿足f(x0)=0,還有一正根x1>x0>0也滿足f(x1)=0。於是根據中值定理,必存在x0=k>0,故f'(x)單增,則在x∈(0,x2)上恆有f'(x)<0,則f(x)在x∈(0,x2)上單減,由f(0)<0知在x∈(0,x2)上恆有f(x)

這與f(x0)=0矛盾。唯一性得證。

設函式f(x)在(0,+∞)上具有二階導數,且f″(x)>0,令un=f(n),則下列結論正確的是(  )a.

3樓:faith丶

∵f″(x)>0

∴f(x)在(0,+∞)的圖形是凹的

∴?x0∈(0,+∞),f(x)在(0,x0)單調遞減,在(x0,+∞)單調遞增(也有可能x0≤0)

∴(1)選項d:若u1<u2,即un=f(n)處於f(x)單調遞增的區間,

此時,f(n)是無界的

∴un發散

∴選項d正確.

(2)選項a:若u1>u2,

此時,不能判斷un=f(n)是否有界,因而也就不能判斷un是否收斂

例如:取f(x)=(x-3)2,滿足題目條件f(1)>f(2),但f(n)=(n-3)2發散,所以排除a;

選項b:取f(x)=x-2,滿足f(1)>f(2),但f(n)=n

?2=1

n收斂,所以排除b;

(3)選項c:取f(x)=x2,滿足f(1)<f(2),但f(n)=n2發散,所以排除d.

故選:d

設函式f(x)具有連續的二階導數,且f'(0)=0,limf''(x)/|x|=1,則f(0)是f(x)的極小值

4樓:demon陌

|imf''(x)/|x|=1表明x=0附近(即某鄰域),f''(x)/|x|>0, f''(x)>0, f'(x)遞增, x<0, f'(x)0, f'(x)>f'(0)=0,所f(0)極值。

極值是一個函式的極大值或極小值。如果一個函式在一點的一個鄰域內處處都有確定的值,而以該點處的值為最大(小),這函式在該點處的值就是一個極大(小)值。

如果它比鄰域內其他各點處的函式值都大(小),它就是一個嚴格極大(小)。該點就相應地稱為一個極值點或嚴格極值點。

5樓:匿名使用者

先說解法:

關於其它一些東西:

(1) 確實有 f''(0) = 0

(2) 一般來講(不針對這道題),當 f『』(0) = 0 時,即可能是極小值,也可能是極大值,也可能不是極值。比如:2-3階導數都是0,但4階導數連續且大於0,則它仍然是極小值(證法與這道題類似,都是泰勒)。

例如函式:f(x) = x^4

(3) 這道題比較特殊,f''(0) = 0,仍能推出在一個鄰域內,f''(x) > 0,成為是極小值的關鍵。

設f x 具有連續的二階導數,且當x 0時,F x0,x x 2 t 2 ft dt與 x 3 3是等價無窮小,試求f

因為f x 與 x 3 3是等價無窮小,故limf x x 3 3 1 由於 f x 0,x x 2 t 2 f t dt x 2 0,x f t dt f x 0,x t 2f t dt f x 2x 0,x f t dt x 2f x x 2f x 2x 0,x f t dt f x 2 0,x...

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lim x 0 f x x a,所以在x 0的某個小的鄰域 a,0 和 0,a 內,x 0,那麼f x 0。儘管f 0 0,但是在x 0的兩側,f x 是同號的,所以x 0不是拐點,所以c,d不對。由於f x 在 a,a 內滿足f x 0,所以 a,a 內f x 單調遞增,因為f 0 0,所以 a,...

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