1樓:匿名使用者
正確一點各個方向極限存在且相等,並且等於該點函式值才在該點連續。
二元函式連續,極限是不是一定存在?
2樓:環城東路精銳
不對,不論一元、二元、還是更多元,極限和連續沒任何關係;
極限指:點無限地靠近某定點,但永遠不等於該定點時,函式的值,它和函式在這一定點有沒有定義沒任何關係;
為什麼多元函式即使所有偏導數都存在 仍可能不連續
3樓:宛丘山人
因為偏導存在只能保證在幾個方向上,函式改變數與自變數改變數比的極限,在自變數趨近於0時存在,從而只能推出在這幾個方向上自變數改變無窮小時,函式的改變數也無窮小,但是不能推出在任何方向上自變數改變無窮小時,函式的改變數也無窮小。所以即使所有偏導數都存在仍可能不連續。
多元函式二階偏導數存在為何一階不一定連續
4樓:小小芝麻大大夢
一個函式連續,要求沿著任意方向趨近於一個點的極限存在
且相等,但是二階偏導數存在,只能說明一階偏導數沿著座標軸的極限存在。所以並不滿足一階偏導數存在的條件。
對於連續性,在自然界中有許多現象,如氣溫的變化,植物的生長等都是連續地變化著的。這種現象在函式關係上的反映,就是函式的連續性。
簡單地說,如果一個函式的影象你可以一筆畫出來,整個過程不用抬筆,那麼這個函式就是連續的。
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一、不連續」是不能同時滿足連續的三個條件的點:
1、函式在該點處沒有定義;
2、若函式在該點有定義,但函式在該點附近的極限不存在;
3、雖然函式在該點處有定義,極限也存在,但是二者不相等。
二、連續函式的定理:
定理一 在某點連續的有限個函式經有限次和、差、積、商(分母不為0) 運算,結果仍是一個在該點連續的函式。
定理二 連續單調遞增 (遞減)函式的反函式,也連續單調遞增 (遞減)。
定理三 連續函式的複合函式是連續的。
這些性質都可以從連續的定義以及極限的相關性質中得出。
5樓:林清他爹
(一階)偏導存在並不能說明函式連續。同樣的道理,把一階偏導數看成一個新的函式,二階偏導數存在並不能說明一階偏導數連續。以上
二元函式在一點不連續,在這點的極限存在嗎?函式可微嗎?
6樓:宛丘山人
在該點的極限有可能存在,函式在該點一定不可微。
7樓:匿名使用者
極限可能存在,也可能不存在
函式肯定不可微
怎樣理解多元函式,連續與偏導存在的關係,偏導連續之間的關係
8樓:angela韓雪倩
多元函式連續不是偏導存在的充分條件也不是必要條件。
而偏導連續則是更強的條件,即偏導存在且連續可以推出多元函式連續,反之不可。
下面來分析,首先大家需要了解這些定義都是人定義出來的,可以反映多元函式的部分特徵。所以,只要掌握了這些定義的意義就可以看出其背後的本質,才能判斷定義間的相互關係。
多元函式在某點可偏導,可是可能在這點沿不同方向的極限不同,所以不一定連續。
而連續函式的偏導是不是一定存在,這個例子在一元函式裡也很常見,比如x的絕對值,在x=0的時候沒有導數。
偏導連續(是偏導連續哦!而不是偏導數存在+函式連續!是偏導數存在且偏導數連續),是可以推出可微的。
而可微是很強的結論,因為可以用十分特殊的線性函式來逼近的話,很多特殊的反例就不見了,而線性函式是連續的,這由定義可以看出來。
所以,偏導存在且連續可以推出函式連續,反之不能。
反例沿用之前的反例,函式連續,但偏導不存在。
9樓:筆記本在記錄我
【升級版答案】
偏導連續是高富帥,可以推出函式可微這個路人。函式可微這個路人可以推出函式連續和偏導存在(即可偏導)這兩個吊絲。吊絲之間沒有任何關係。
★一句話總結:高富帥→路人→兩個吊絲★
下面是原答案。
首先有兩點要說明一下。
1.偏導數存在且連續=偏導數連續。
2.要分清函式連續和偏導數連續。可微指的是函式可微。
下面來回答問題。
1.偏導數存在與函式連續無任何必然關係。
2.偏導數連續是函式連續的充分不必要條件。
3.偏導數存在且有界是函式連續的充分不必要條件。(額外補充)(注意有界二字!)
4.偏導數連續是可微的充分不必要條件。
5.可微是偏導數存在的充分不必要條件。
6.可微是函式連續的充分不必要條件。
接著對於疑問點較多的第一點給予更詳細的解釋。(連續不能推出可導,這個大家都知道,我就不贅述了。)
函式連續通俗一點說,就是一元函式在曲線上沒有空心點,二元函式在面上的任何一個方向上沒有空心點。二元函式在某點連續要求面上的該點在其周圍360°的鄰域內都不存在空心。而二元函式有偏導的必要條件是該點在x軸方向和y軸方向上的鄰域沒有空心,充要條件即滿足偏導數的極限定義式。
所以,二元函式的偏導數無論是否存在,只能保證該函式在x軸與y軸方向上的連續性,無法保證該點360°鄰域上的連續性,因而函式的連續也是未知的。
最後說一句不太理解點踩的人是什麼想法,我說的這麼直白你都看不懂嗎。
10樓:一頁千機
先回答問題:
1.多元函式連續不是偏導存在的充分條件也不是必要條件。
2.而偏導連續則是更強的條件,即偏導存在且連續可以推出多元函式連續,反之不可。
下面來分析,首先大家需要了解這些定義都是人定義出來的,可以反映多元函式的部分特徵。所以,只要掌握了這些定義的意義就可以看出其背後的本質,才能判斷定義間的相互關係。
定義1.多元函式連續,f為多元函式,對於其定義域內任一聚點x,當一列趨近於x時,f(xn)趨近於f(x),則稱f在定義域上連續。需要注意的是,這裡的是可以用任何方式趨近x的,是任何方式!!
這就是很關鍵的一點了,後面的很多判斷也是基於此。
2.多元函式偏導存在,具體定義這裡不好打出來。我說一下,和一元函式十分類似的定義,把其餘的元視為常量,然後求函式值之差和自變數之差的商的極限即可。
這裡的關鍵是,只在一個方向上的極限!
3.多元偏導數存在且連續,結合1.2的定義即可。
所以,由1.2定義可以看出來多元函式連續和其偏導存在是沒有直接聯絡的。
多元函式在某點可偏導,可是可能在這點沿不同方向的極限不同,所以不一定連續。
而連續函式的偏導是不是一定存在,這個例子在一元函式裡也很常見,比如x的絕對值,在x=0的時候沒有導數。
而偏導連續這就很強了。我們這裡引入多元函式可微的概念,具體定義敘述很麻煩。
我的理解是類似於用多元線性函式來逼近一般多元函式。
而偏導連續(是偏導連續哦!而不是偏導數存在+函式連續!是偏導數存在且偏導數連續),是可以推出可微的。(這個證明我也沒有寫,參見北京大學出版社的《數學分析3》作者伍勝健)
而可微是很強的結論,因為可以用十分特殊的線性函式來逼近的話,很多特殊的反例就不見了,而線性函式是連續的,這由定義可以看出來。
所以,偏導存在且連續可以推出函式連續,反之不能。
反例沿用之前的反例,函式連續,但偏導不存在。
以上,有我沒有解釋清楚或者沒有看懂的可以追問。
謝謝**~
11樓:幻想鄉r站站長
口訣:偏導連續一定可微,偏導存在不一定連續,連續不一定偏導存在,可微不一定偏導連續
我傾向於用影象理解
偏導連續一定可微:可以理解成有一個n維的座標系,既然所有的維上,函式都是可偏導且連續的,那麼整體上也是可微的。
偏導存在不一定連續:整體上的連續不代表在每個維度上都是可偏導的連續不一定偏導存在:同理如2
可微不一定偏導連續:可微證明整體是連續的,並且一定有偏導,但是無法說明在每個維度上都是可偏導的。
12樓:c級殺手
不知道了 平時很少玩手機了
13樓:匿名使用者
20 怎樣理解多元函式,連續與偏導存在的關係,偏導連續之間的關係
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