微分方程裡面關於Pdx Qdy的原函式問題

2022-11-15 14:25:14 字數 5870 閱讀 1160

1樓:小哲超級

這種方程是微分方程中的恰當方程,當dp/dy=dq/dx實際上由二元函式的偏導數之間的關係可以知道,當二元函式f的二階混合偏導數連續時對x先求導數後再對y求導與先對y求導再對x求導結果一樣,而dp/dy=dq/dx恰好滿足這種形式,所以可以構造一個函式,使得它的全微分df=fxdx+fydy=pdx+qdy,由p和q已知可以求出f,具體思想如下:知道f關於x的一階導數為p,f關於y的一階導數為q,所以可以先對p進行積分,把y看做不變的常數,這樣就可以得到f的表示式,但這個表示式中肯定含有y的未知函式,在利用對y進行求導得到q,可以把關於y的未知函式求出,這就是整個過程。當然也可以用數學分析中的格林公式以及曲線積分只是得出。

對於dp/dy與dq/dx不相等的情況,需要對其進行積分因子變換,因為pdx+qdy=0是一個方程,所以兩邊同時乘以一個函式也不會改變這個方方程的性質,所以可以根據這個思想,乘以一個適當的因子設為h(x,y)由於我們能對dp/dy與dq/dx相等的情況進行求解,所以我們乘以h(x,y)後變成的形式

h(x,y)*pdx+h(x,y)*qdy=0要滿足h(x,y)*p對y求導和h(x,y)*q對x進行求導相等,這時可得到h(x,y)要滿足一個偏微分方程,而偏微分方程很難解,比常微分方程難解的多,所以要探求某一特殊的情況,使得h(x,y)滿足的這個偏微分方程能化為我們能求解的常微分方程,這樣就得到特殊的一些pdx+qdy=0(其中dp/dy與dq/dx不相等)求解。

內容比較多,但思想是這樣的。多琢磨琢磨就明白了。

2樓:江山有水

這裡涉及的知識比較多,主要思想是這樣的:

1.pdx+qdy如果恰好是某個二元函式的全微分的話,方程的通解就能求出了(此時該方程稱為全微分方程),比如,設

pdx+qdy=du(x,y)

那麼方程 pdx+qdy=0的通解便為:u(x,y)=c

2.但pdx+qdy不一定恰好是某個函式的全微分,判斷依據是:dp/dy=dq/dx,

即:此式成立(當然在某個區域內),存在u(x,y),如果此式不成立,則不存在u(x,y)

3.在不存在u(x,y)的情況下,可能可以通過乘以某個函式或式子,使得方程成為全微分方程,比如方程:xdy-ydx=0,通過判斷知道它不是全微分方程,但如果乘以1/x^2,方程變形為:

dy/x-(y/x^2)dx=0

通過驗證可知它是全微分方程,並且

dy/x-(y/x^2)dx=d(y/x)

4.象上例這樣,乘上的函式1/x^2便稱為是積分因子了,一般來說,如果微分方程通過乘以某個函式變成了全微分方程,則稱此函式稱為該方程的積分因子。

5.若pdx+qdy=du(x,y),則有du/dx=p,du/dy=q

因此dp/dy=d^2u/(dxdy)=d^2u/(dydx)=dq/dx

反之亦然,這就是判斷是否為全微分方程的依據。

3樓:鍾學秀

我們常遇見的一類函式f滿足fxy及fyx在點(x,y)處都連續,數學分析知識告訴我們有 fxy(x,y)=fyx(x,y);即跟偏導順序無關這樣的話我們可以知道存在f滿足題意;

即如果dp/dy=dq/dx時則有f滿足fx=p,fxy=px;fy=q,fyx=qx這樣dp/dy=dq/dx即fxy=fyx所以確實有f找到了為它的原函式。

4樓:和然步浩言

這就是全微分的性質

使用格林公式

只有滿足了

∂q/∂x-∂p/∂y=0

才能積分與路徑無關

5樓:匿名使用者

買本常微分方程的教科書吧,裡面都有詳細的解說和例題

6樓:匿名使用者

大一的吧?好好去答疑吧

已知原函式的微分方程,怎麼求原函式

7樓:

目前最高難度的我只接觸到二階常係數非齊次線性方程。更難的需要工科兄弟們補充了,文科甚至理科已經無能為力。

首先是1階微分方程。這是最簡單的形式。

1階微分方程分為3種型別:

型別一:可分離變數的微分方程,它的形式如下:

dx/x=dy/y

總之是可以把x和y分開並且x與ds放到一邊,y與dy放到等號另一邊。

這種微分方程是可以直接積分求解的,

∫dx/x = ∫dy/y => ln|x| = ln|y| + lnc

c是任意常數。永遠要知道的是,微分方程有多少階,就有多少個任意常數。一階微分方程只有一個任意常數c。

型別二:齊次微分方程

這樣的微分方程的特點是(x^2+y^2)dx=(xy)dy括號內的項次數都相同。這個式子裡括號內的次數都是2次。它是可以轉化為第一種型別來求解的。

轉化的方法是設u=y/x,把原式的未知項都變成y/x的形式:(x/y + y/x)=dy/dx,然後代入u=y/x(注意:y=ux, 因此dy/dx=xdu/dx + u。

這個也要代入),然後按照可分離變數型別的齊次方程求解。

型別三:一階線性方程

一階線性方程的特點是形式為y'+p(x)y=q(x),其中p(x)和q(x)都是x的函式。它主要是公式法求解。公式為y=[exp-∫p(x)dx]

二階微分方程就更復雜了,3種形式的通解,3種形式的特解,特解裡面還要考慮3種不同形式的未知項,所以在此不闡述。

8樓:匿名使用者

用不定積分

如原函式的微分方程為y』=2x+3,\

則原函式為:y=x^2+3x+c(c為常數).

9樓:鬱放昂雙文

目前高難度我接觸

二階係數非齊線性程

更難需要工科兄弟

補充文科甚至理科已經能力

首先1階微程簡單

形式1階微

程3種型別:型別:

離變數微程形式

:dx/x=dy/y總x

y並且x與ds放

邊y與dy放

等號另邊種微程

直接積求解

∫dx/x

=∫dy/y

=>ln|x|

=ln|y|

+lncc任意

數永遠要知道微程

少階少任意數

階微程任意數c

型別二:齊微程

微程特點(x^2+y^2)dx=(xy)dy括號內項數都相同

式括號內數都2

轉化第種型別求解

轉化設u=y/x

原式未知項都變

y/x形式:(x/y

+y/x)=dy/dx

代入u=y/x(注意:y=ux,

dy/dx=xdu/dx+u

要代入)

按照離變數型別

齊程求解

型別三:

階線性程

階線性程

特點形式

y'+p(x)y=q(x)

其p(x)

q(x)都x函式

主要公式

求解公式

y=[exp-∫p(x)dx]

二階微程

更復雜3種形式

通解3種形式

特解特解

面要考慮3種

同形式未知項所闡述

10樓:匿名使用者

你的問題太籠統,建議去看微分方程方面的資料。

11樓:匿名使用者

解這個微分方程,你的問題太籠統,建議去看微分方程方面的資料。

全微分方程如何求原函式 20

12樓:和與忍

這類微分方程都具有dz=p(x,y)dx+q(x,y)dy的形式,且滿足p關於y的偏導數等於q關於x的偏導數的特點。解答過程如下:

先由p關於y的偏導數等於q關於x的偏導數,得出dz=p(x,y)dx+q(x,y)dy是一個全微分方程的結論。接著得出通解是z=從(0,0)到(x,y)第二型曲線積分p(x,y)dx+q(x,y)dy。

接下來,根據該積分與積分路徑無關(因為p關於y的偏導數等於q關於x的偏導數),可以選擇從點(0,0)到點(x,y)的特殊路徑積分,而最常選取的是沿折線路徑積分,即先從(0,0)到(0,y)、再從(0,y)到(x,y)的折線或者是先從(0,0)到(x,0)、再從(x,0)到(x,y)的折線。最後z=積分結果 就是通解。

例如:閣下這個題,假如選擇(0,0)到(x,0)、再從(x,0)到(x,y)的折線積分,則通解是z=(0,0)到(x,0)積分p(x,y)dx+q(x,y)dy + (x,0)到(x,y)積分p(x,y)dx+q(x,y)dy。

在第一個積分裡,y(=0)是常數,所以dy=0,結果成為定積分(從0到x)(x^2 +2x*0-0^2)dx=1/3 * x^3 +c1.

在第二個積分裡,x一直沒變是常數,所以dx=0,結果成為定積分(從0到y)(x^2 -2xy -y^2)dy=x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +c2.

於是,通解是z=1/3 * x^3 +x^2 * y -x*y^2-1/3 * y^3 +c.

13樓:竹珺宜慶

目前最高難度的我只接觸到二階常係數非齊次線性方程。更難的需要工科兄弟們補充了,文科甚至理科已經無能為力。

首先是1階微分方程。這是最簡單的形式。

1階微分方程分為3種型別:

型別一:可分離變數的微分方程,它的形式如下:

dx/x=dy/y

總之是可以把x和y分開並且x與ds放到一邊,y與dy放到等號另一邊。

這種微分方程是可以直接積分求解的,

∫dx/x

=∫dy/y

=>ln|x|

=ln|y|

+lnc

c是任意常數。永遠要知道的是,微分方程有多少階,就有多少個任意常數。一階微分方程只有一個任意常數c。

型別二:齊次微分方程

這樣的微分方程的特點是(x^2+y^2)dx=(xy)dy括號內的項次數都相同。這個式子裡括號內的次數都是2次。它是可以轉化為第一種型別來求解的。

轉化的方法是設u=y/x,把原式的未知項都變成y/x的形式:(x/y

+y/x)=dy/dx,然後代入u=y/x(注意:y=ux,

因此dy/dx=xdu/dx

+u。這個也要代入),然後按照可分離變數型別的齊次方程求解。

型別三:一階線性方程

一階線性方程的特點是形式為y'+p(x)y=q(x),其中p(x)和q(x)都是x的函式。它主要是公式法求解。公式為y=[exp-∫p(x)dx]

二階微分方程就更復雜了,3種形式的通解,3種形式的特解,特解裡面還要考慮3種不同形式的未知項,所以在此不闡述。

14樓:陽浩曠諾禎

這裡涉及的知識比較多,主要思想是這樣的:

1.pdx+qdy如果恰好是某個二元函式的全微分的話,方程的通解就能求出了(此時該方程稱為全微分方程),比如,設

pdx+qdy=du(x,y)

那麼方程

pdx+qdy=0的通解便為:u(x,y)=c

2.但pdx+qdy不一定恰好是某個函式的全微分,判斷依據是:dp/dy=dq/dx,

即:此式成立(當然在某個區域內),存在u(x,y),如果此式不成立,則不存在u(x,y)

3.在不存在u(x,y)的情況下,可能可以通過乘以某個函式或式子,使得方程成為全微分方程,比如方程:xdy-ydx=0,通過判斷知道它不是全微分方程,但如果乘以1/x^2,方程變形為:

dy/x-(y/x^2)dx=0

通過驗證可知它是全微分方程,並且

dy/x-(y/x^2)dx=d(y/x)

4.象上例這樣,乘上的函式1/x^2便稱為是積分因子了,一般來說,如果微分方程通過乘以某個函式變成了全微分方程,則稱此函式稱為該方程的積分因子。

5.若pdx+qdy=du(x,y),則有du/dx=p,du/dy=q

因此dp/dy=d^2u/(dxdy)=d^2u/(dydx)=dq/dx

反之亦然,這就是判斷是否為全微分方程的依據。

求高階微分方程,求高階微分方程

設 y dy dx p y 則 y dp y dx dp y dy dy dx p y dp y dy 微分方程 bai yy y du2 yy 化為 ypdp dy p 2 yp p ydp dy y p 0 1 ydp dy y p 0,即 dp dy p y 1 p e zhidy y 1e ...

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