利用下列函式的單調性,證明不等式

2023-01-24 03:55:17 字數 2255 閱讀 7014

1樓:匿名使用者

第一個題,解法一,用泰勒公式,直接得到!根據泰勒公式,e^x=1+x+1/2x^2+1/3x^3+……

這是第一種解法,前提是你懂高數。

解法二,設y=e^x-x-1, 兩邊求導,導函式為y'=e^x-1,令其為0,得到x=0,可以通過導函式,當x>0時,導函式y'>0;當x<0時,導函式y'<0,進而推斷,當x=0時,原函式y取最小值;而題設x不等於0,所以任何一點不等於0的x都可以滿足y>0. 最終得到題目中的不等式。

解法三,畫圖法,非常簡單!

第二個題,解法一,畫圖法,非常簡單!

解法二,用第一個題的第二種解法,設y=e^x-x 同樣的,證明它大於零。證明方法也一樣,用導數求。當x>0時,y'>0;當x=0時,y=1,且y是一增函式,所以當x>0時,y>0。

同理可得x>inx.

如果有啥不理解的,再一起討論吧!

加分咯,這是我的「第一次」,很重要的!^^

2樓:

1, e×-x求導為 e×-1,x>0單增,x<0單減,x=0 e×-x=1,則e×>1+x, x不等於0

2,由1得x0,求ln得lnx0

利用函式單調性證明以下不等式

3樓:匿名使用者

題目不嚴格,少了條件x>0。

我證明第1個,其他證明方式一樣。

當x>1時顯然成立。

當0

利用函式的單調性,證明下列不等式(1)sinx

4樓:伊秋梵平

用導數:f`(x)表示f(x)的導數。

1. 設f(x)=sinx-x,f`(x)=cosx-1,當x∈(0,π)時,f`(x)<0,∴f(x)在(0,π)上為遞減函式,f(x)0,∴f(x)在(0,1/2)增,f(x)>f(0)=0,即x-x^2>0;

1/2f(1)=0,即x-x^2>0;

f(1/2)=1/4>0

綜上,可得:x-x^2>,1)

5樓:奇龍藥方

這個很簡單啊。

解答如下:(1)設f(x)=sinx-x(x屬於0到π之間);

則f(x)求導得到:[f(x)]』cosx-1在0到π之間始終小於0,說明f(x)在0到π之間單調遞減,當x=0時取得最大數值,最大數值等於f(0)=sin0-0=0(由於x始終大於0的,不肯取到0,所以f(x)在0到π之間始終小於0),所以有sinx(2)此題目方法如上題一樣,更簡單些!

希望能對你有所幫助,給點分吧。

導數的應用:利用函式單調性證明下列不等式

利用函式的單調性證明下列不等式

6樓:徐少

e^x>1+x(x>0)

證明:f(x)=e^x-(x+1)

f'(x)=[e^x-(x+1)]'

=e^x-1

>0∴ f(x)在(0,+∞上單調遞增。

∴ f(x)>f(0)=0

∴ e^x>x+1(x>0)

證明完畢。

高數,利用函式的單調性,證明不等式

7樓:網友

利用拉格朗日定理,是對的~a-b的平方大於等於零,簡單的放縮。

利用函式的單調性證明不等式的步驟如sinx

8樓:匿名使用者

首先 f(x)=sinx 在 [0,π/2]遞增 g(x)=x 在[0,π/2]也增。

有f(0)=0=g(0) 接下在 只要 重點證 兩函式增的速率 即 比較斜率。

f'(x) =cosx 在 [0,π/2] 恆有 0<= cosx <=1

g'(x)= 1 在 [0,π/2]

那麼 顯然 g(x)增的快 所以 在 [0,π/2] 上 x>=sinx

又在 [π2 , 上 f(x) 遞減 而 g(x)繼續增 所以 繼續 g(x)>f(x) 即 x>sinx

綜上 在[0,π/2] 上 x>=sinx

9樓:來自澄水洞客觀的蒲桃

設f(x)=sinx-x,則f'(x)=cosx-1≤0,故f(x)單調遞減,即sinx

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