已知f x 是定義在實數集R上的函式,滿足f x 2f x ,且f x 2x x

2022-11-07 13:50:26 字數 4836 閱讀 2924

1樓:匿名使用者

令t=x+2→x=t-2

在實數集r上的函式,滿足f(x+2)=-f(x),

則有f(t)=-f(t-2)

當t屬於區間[0,2],則函式滿足關係式f(t)=2t-t2,

t-2屬於區間[-2,0],且滿足f(t-2)=-f(t)=-2t+t2

再將x=t-2代回,則有f(x)=-2(x+2)+(x+2)^2 x屬於區間【-2,0】

2、由於f(x+4)=-f(x+2)=f(x)

則f(x)是以4為週期的函式

則當x屬於區間【-2,2】,x+4屬於區間【2,6】

則有f(x+4)=f(x)

令t=x+4,x=t-4,且t屬於區間【2,6】,t-4屬於區間【-2,2】

則f(t)=f(t-4)

當t屬於【2,4】,t-4屬於【-2,0】,f(t)=-2(t-2)+(t+2)^2

當t屬於【4,6】,t-4屬於【0,2】,f(t)=-2(t-4)+(t-4)^2

2樓:冬南春北

1.f(x+2)=-f(x)①

x∈[0,2]時,f(x)=2x-x^2②以下求解

當x∈[-2,0]時,x+2∈[0,2],代入②得f(x+2)=2(x+2)-(x+2)^2=-x^2-2x=-x^2-6x-8

結合①可得f(x)=x^2+6x+8,x∈[-2,0]③f(x+2)=-f(x),令x=x+2

得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)

所以該函式是週期為4的周期函式

那麼f(x)=f(x-4)④

2.雖然[2,6]區間長度為4

但不是在同一個週期上

所以只能先求[2,4]的表示式

再求(4,6]的表示式

x∈[2,4]時,x-4∈[-2,0]

代入③得f(x-4)=x^2-2x

由④得f(x)=f(x-4)=x^2-2x(x∈[2,4])x∈(4,6]時,x-4∈(0,2]

代入②得f(x-4)=-x^2+10x-24=f(x) (x∈(4,6])

綜上f(x)=x^2-2x (x∈[2,4])-x^2+10x-24 (x∈(4,6])是分段函式

3樓:炫舞中發芽

題設f(x)=2x-x2處應該有一個x的區間。否則(1)(2)答案就是f(x)=2x-x2。

設f(x)是定義在實數集r上的奇函式,且滿足f(x+2)=-f(x),當0≤x≤1時,有f(x)=x,則f(7.5)等於多少

4樓:

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x)即f(x)是以4為週期的函式,

所以f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)因為f(x)是定義在實數集r上的奇函式,且當0≤x≤1時,有f(x)=x

所以f(-0.5)=f(0.5)=0.5

即f(7.5)=0.5

定義在實數集r上的函式f(x)滿足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)=f(x).現有以下三種敘述:①8是函式f

5樓:摯愛戴拿

對於①,由於定義在實數集r上的函式f(x)滿足f(x)+f(x+2)=0,

則f(x+2)=-f(x),即有f(x+4)=-f(x+2),則f(x+4)=f(x),

即4是函式的最小正週期,故①對;

對於②,由於f(x)滿足f(4-x)=f(x),即有f(2+x)=f(2-x),

即f(x)的圖象關於直線x=2對稱,故②對;

對於③,由於f(4-x)=f(x),即有f(-x)=f(x+4),

又f(x+4)=f(x),則f(-x)=f(x),則f(x)為偶函式,故③對.

故選d.

已知f(x)是定義在實數集r上的函式,且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(2)=1-根號3,則f(2010)等於多少

6樓:韓增民鬆

二樓的解答完全正確,問題是一般人看不太懂,我在這裡細化一下,能使樓主看明白

∵f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),f(2)= 1-√3

f(x+2)=(f(x)+1)/(1-f(x))

f(x+4)=f(x+2+2)= (f(x+2)+1)/(1-f(x+2))

=[1+(f(x)+1)/(1-f(x))]/[1-(f(x)+1)/(1-f(x))]

=-1/f(x)

同理可求

f(x+6)=(f(x)-1)/(f(x)+1)

f(x+8)=f(x)

即週期為8

f(2010)=f(2+2008)=f(2+8*251)=f(2)=1-√3

2.∵f(x)=(1/3)x^3-x^2(k+1)/2

f'(x)=x^2-(k+1)x=x(x-k-1)

又f(x)在(2,+∞)上為增函式

則f'(2)=2(2-k-1)>=0==>k<=1

∵g(x)=1/3-kx

設h(x)=f(x)-g(x)=1/3x^3-x^2(k+1)/2-1/3+kx=1/3x^3-x^2(k+1)/2+kx-1/3

令h'(x)=x^2-(k+1)x+k=0,解得x1=1,x2=k

h」(x)=2x-k-1, h」(1)=2-k-1, h」(k)=k-1

h(1)=1/3-(k+1)/2+k-1/3=(k-1)/2

h(k)=1/3k^3-k^2(k+1)/2+k^2-1/3=-k^3/6+k^2/2-1/3

當k<1時,函式h(x)在x1處取極小值,在x2處取極大值;

h(1)=(k-1)/2<0==>k<1

h(k)=-k^3/6+k^2/2-1/3>0

k^3-3k^2+2=(k-1)(k^2-2k-2)<0==>

解得k<1-√3或11時,函式h(x)在x1處取極大值,在x2處取極小值;

h(1)=(k-1)/2>0==>k>1

h(k)=-k^3/6+k^2/2-1/3<0

k^3-3k^2+2=(k-1)(k^2-2k-2)>0==>

解得1-√31+√3

∴k>1+√3

綜上,函式f(x)與g(x)的影象有三個不同的交點,必須滿足 k<1-√3或者k>1+√3

補充:如何解k^3-3k^2+2=(k-1)(k^2-2k-2)<0

設f(x)= x^3-3x^2+2, 令f』(x)=3x^2-6x=0解得x1=0,x2=2

f」(x)=6x-6, f」(0)=-6<0, f」(2)=6>0

∴f(x)在x1=0處取極大值,在x2=2處取極小值

∴解得k<1-√3或1

7樓:

f(x+2)=(f(x)+1)/(1-f(x))

f(x+4)=[1+(f(x)+1)/(1-f(x))]/[1-(f(x)+1)/(1-f(x))]

=-1/f(x)

同理f(x+6)=(f(x)-1)/(f(x)+1)

f(x+8)=f(x)

即週期為8

f(2010)=f(2+2008)=f(2+8*251)=f(2)=1-√3

2 f'(x)=x^2-(k+1)x=x(x-k-1) 在x>2時恆大於0

即x-k-1在x>2時恆大於0

2-k-1>=0

k<=1

設t(x)=f(x)-g(x)=1/3x^3-x^2(k+1)/2-1/3+kx=1/3x^3-x^2(k+1)/2+kx-1/3=0有3個解

t'(x)=x^2-(k+1)x+k=0

x1=1

x2=k

即x=1,k時存在極值

1)k>1時.t(1)>0,t(k)<0

解得k>1+√3

2)k<1時,t(k)>0,t(1)<0

k<1-√3

所以 k>1+√3或者k<1-√3

8樓:不能細說

1.f(x+2)=[1+f(x)]/[1-f(x)],代入到f(x+4)[1-f(x+2)]=1+f(x+2),得到f(x+4)=-1/f(x)

因此f(x+8)=f(x)

所以f(2010)=f(2)=1-根號3。

2.(1)

f'(x)=x^2-(k+1)x=x(x-(k+1))在(2,正無窮)上為非負

所以k+1<=2

k<=1

(2)f(x)-g(x)=(1/3)x^3-x^2(k+1)/2-1/3+kx與x軸有3個交點

求導,得x^2-(k+1)x+k=(x-k)(x-1)若想有3個交點,在兩個極點1,k就得有一個函式值大於0,一個小於0,討論比較麻煩,你自己來吧

9樓:

f(x+2)=[1+f(x)]/[1-f(x)]

故 f(x+4)=[1+f(x+2)]/[1-f(x+2)]=-1/f(x)

可得 f(x+8)=-1/f(x+4)=f(x)

所以 f(2010)=f(2002)=......=f(2)=1-√3

補充問題解答:

對f(x)求導 f』(x)=x²-x(k+1)在(2,正無窮)上為增函式,f'(x)=[x-(k+1)/2]²-(k+1)²/4

(1)(k+1/2)<=2時即k<=3時,(2,正無窮)上使f'(x)>f'(2)>0得出k<=1

聯立得k<=1

(2)k>3時f'(x)min=f』(k+1/2)=-(k+1)²/4當且僅當k=-1成立與k>3矛盾

由(1)(2) 故k<=1

第二問:設f(x)=f(x)-g(x)

則f'(x)=x²-x(k+1)+k=(x-k)(x-1)

擦好難算啊。

要得到3個交點必須f(1)*f(k)<0.聯立答案自己算

已知f(x)是定義在R上的可導函式,若函式F(x)xf(x

由於函bai數f x xf x 滿足f dux 0對zhix r恆成立,則dao可知f 專x xf x 為r上的增函式,則 f 1 f 1 即f 1 f 1 0 故 正確 由於f x xf x f x 0,則當x 0時,f x xf x f 0 0成立,故f x 0 當x 0時,f x xf x f...

已知定義在R上的偶函式f x 滿足f x 4f x ,且在區間

解 由於 f x 為定義在r上的偶函式 則有 f x f x 由於 f x 4 f x 則令x x 4 則有 f x 4 4 f x 4 即 f x 8 f x 4 又 f x 4 f x 則 f x 8 f x f x 則 週期t 8 則 f 10 f 2 8 f 2 f 13 f 5 8 f 5...

已知f(x)為定義在R上的函式,求證 f(x)可以寫成偶函式和奇函式的和

證明 f x 的定義域關於原點對稱,f x f x 皆有意義,又 f x f x f x 2 f x f x 2 設 h x f x f x 2,g x f x f x 2 g x h x 的定義域都是關於原點對稱的,g x f x f x 2 f x f x 2 g x g x 是奇函式 h x ...