1樓：匿名使用者
線性時不變系統，指的是系統是線性的（系統可用線性方程來描述，當然包括微分方程）、系統的引數是常數，不隨時間的變化而變化的系統。
比如電學系統：lq" + rq' + cq = v(t) l、r、c為系統引數：電感、電阻和電容且與時間無關，此係統就是用二階常係數常微分方程所描述的線性時不變系統。
另外力學系統：my" + cy' + ky = x(t) m、c、k為系統引數：質量、阻尼和剛度，為常數，該力學系統也是線性時不變系統。
如果把晒水車簡化成二階線性振動系統，由於質量m=m(t)隨時間而變化，該系統雖然還是線性系統，但它已不是時不變的了，而是線性時變系統了！線性時不變系統是一種定義、一個概念，它無需證明。
線性常係數微分方程所描述的系統，因為它是常係數的（系統引數不隨時間變化！）那麼它就一定是線性時不變的系統！
2樓：秒懂百科
拉普拉斯變換法：求解常係數線性常微分方程的一個重要方法
如何證明線性常係數微分方程 是線性時不變系統
3樓：夏小紙追
第一題貌似不用導數什麼的來證明吧，用sinx=cos（π/2-x）就可以證明出來了
第二題1. 對不等式的兩邊分別求導數，左邊的導數為1/(1+x)^2,，右邊導數為1/1+x，當x>0時，有1/1+x>1/(1+x)^2
2. x/1+x=0，ln(1+x)=0 (x=0時)
3. f(x)-f(0)/g(x)-g(0)=f'(θ)/g'(θ)(x-0) (0<θ 4. 令f(x)=x/1+x，g(x)=ln(1+x)帶入上面的式子可得 4樓：方雨靈 以一階常係數微分方程為例 a * dr(t)/dt + b * r(t) = c * e(t) ——① （1）線性性： 1）均勻性： 當激勵（就是e(t)）放大k倍後，經過系統（這個微分方程）後 響應該是k * r(t) 則均勻性成立 k * e(t) 和 k *r(t) 帶入①後得： 左式：k * a * dr(t)/dt +k * b * r(t) 右式：k * c * e(t) 左式 = 右式 均勻性成立 2）疊加性 當激勵為 e1(t）+ e2(t)時輸出為 r1(t) + r2(t)則疊加性成立 設：a * dr1(t)/dt + b * r1(t) = c * e1(t) ——② a * dr2(t)/dt + b * r2(t) = c * e2(t) ——③ ②+③得：a * d( r1(t) + r2(t) )/dt + b *( r1(t) + r2(t) ) = c * e1(t) + c * e2(t) 故疊加性成立 該系統滿足均勻性和疊加性 故該系統為線性系統 （2）時不變 輸入為e(t) 輸出為r(t) 若輸入為e(t-t0) 輸出為 r(t-t0)時，滿足時不變性 a * dr(t)/dt + b * r(t) = c * e(t) e(t-t0) 和 r(t-t0) 帶入①後得： 左式：a * dr(t-t0)/dt + b * r(t-t0) 右式：c * e(t-t0) 左式 = 右式 時不變性成立 如何根據微分方程判斷是線性定常或時變還是非線性系統？ 5樓：一轉身丶已千年 大概明白你的意思了 你的意思就是那種直觀法對吧線性非線性，不管微分方程還是一般方程，y(t)不允許帶平方，比如dy(t)/dt可以 dy^2(t)/dt不行 二階導數也可以d^2 y(t)/dt^2 反正就是不允許y(t)這項有平方或者有開方 不允許頭頂上帶係數 時變定常 只要係數裡面帶直接跟t有關的係數就是時變 y(t)不算，什麼t，sint，e^t都是時變 靜態動態 有微分方程都是動態 沒有就是靜態 如何判斷一個微分方程是線性定常系統，還是非線性系統？ 6樓：薔祀 所謂的線性定常系統，其特性有： a、只能出現函式本身，以及函式的任何階次的導函式； b、函式本身跟所有的導函式之間除了加減之外，不可以有任何運算； c、函式本身跟本身、各階導函式本身跟本身，都不可以有任何加減之外的運算； d、不允許對函式本身、各階導函式做任何形式的複合運算，例如： 若不能複合上面的條件，就是非線性系統。 擴充套件資料： 線性不變系統 ①齊次性 若激勵f(t)產生的響應為y(t)，則激勵af(t)產生的響應即為ay(t)，此性質即為齊次性。其中a為任意常數。 f(t)系統y(t)，af(t)系統ay(t) ②疊加性 若激勵f1(t)與f2(t)產生的響應分別為y1(t)， y2(t)，則激勵f1(t)+f2(t)產生的響 應即為y1(t)+y2(t)，此性質稱為疊加性。 ③線性若激勵f1(t)與f2(t)產生的響應分別為y1(t)， y2(t)，則激勵a1f1(t)+a2f2(t)產生 的響應即為a1y1(t)+a2y2(t)，此性質稱為線性。 ④時不變性 若激勵f(t)產生的響應為y(t)，則激勵f(t-t0)產生的響應即為y(t-t0)，此性質稱為 不變性，也稱定常性或延遲性。它說明，當激勵f(t)延遲時間t0時，其響應y(t)也延 遲時間t0，且波形不變。 ⑥微分性 若激勵f(t)產生的響應為y(t)，則激勵f'(t)產生的響應即y'(t),此性質即為微分性。 ⑦積分性 若激勵f(t)產生的響應為y(t)，則激勵f(t)的積分產生的響應即為y(t)的積分。此性質稱為積分性。 7樓： 判斷一個微分方程，如果滿足齊次疊加性的即為線性方程，否則為非線性。 線性系統滿足齊次性與疊加性，即滿足f(ax+by)=af(x)+bf(y),其中，a,b為常數。 所謂的線性微分方程是指微分變數（y）和微分運算元（dy/dx）的冪都是1次的微分方程。它的通解滿足線性疊加原理。 簡單的例子：y'''+y''+y'+y=0是線性的，但y'''+y''+(y')^2+y=0,或者y'''+y''+y'+y^2=0都不是線性的，因為有2次元素的存在。 對於一階微分方程，形如: y'+p(x)y+q(x)=0的稱為"線性" 例如：y'=sin(x)y是線性的 但y'=y^2不是線性的 線性定常系統，又稱之為線性時不變系統，滿足線性性與時不變性。 非線性系統：一個系統,如果其輸出不與其輸入成正比，則它是非線性的。從數學上看，非線性系統的特徵是疊加原理不再成立。 疊加原理是指描述系統的方程的兩個解之和仍為其解。疊加原理可以通過兩種方式失效。其一，方程本身是非線性的。 其二,方程本身雖然是線性的,但邊界是未知的或運動的。 8樓：靖雋 如果滿足齊次疊加性的即為線性方程，否則為非線性。 9樓：20100609姿 一定滿足這兩個公式 1、滿足：t[x1(n)+x2(n)]=y1(n)+y2(n); 2、滿足：t[ax1(n)]=ay1(n); 系統的輸入、輸出之間滿足線性疊加原理的系統成為線性系統。 10樓：匿名使用者 線性系統滿足齊次性與疊加性，即滿足f(ax+by)=af(x)+bf(y),其中，a,b為常數 1先寫出特徵方程,解出r根 2在看f x 為哪種形式,設出特解形式。要記得這些公式 二階常係數非齊次線性微分方程的特解形式怎麼求?第一題,多項式右邊,可以猜一個同次的多項式解 第二題,d 1 d 2 y xe x 此時發生共振,從而猜測特回解答 ax bx 2 e x 第三題,d 1 d 1 y x... 由題意，對應齊次線性方程的通解為y cex ce x，因此 特徵方程為 專 1 1 0，即 2 1 0 可見，對屬應的齊次方程為y y f x 將特解y 12 1 10cos2x代入，得 f x 12?1 2cos2x sin x，故此微分方程為y y sin2x 故選 d 通解為y c1e x c... 線性無關解 只要兩個解向量中的各個數字不是成倍的就行,即如果想使k1 a1 k2 a2 0,k1和k2只能全部為0，這裡k1和k2就被稱之為線性無關解。線性相關解 就是給定向量組 a1,a2,am k1a1 k2a2 kmam 0 該方程組有非零解，比如向量 1,1 1,1 就是線性相關的,k1 1...二階常係數非齊次線性微分方程怎麼解怎麼設
已知某二階常係數線性非齊次微分方程的通解為y C1ex C
微分方程什麼叫線性無關解什麼是線性相關解