1樓：吉祿學閣
這裡不好寫定積分，先算出部定積分吧。。。
過程如下：
∫(3x^2+1)cosnxdx 主要採用了分部積分方法。
=(1/n)∫(3x^2+1）d(sinnx)
=(1/n)sinnx(3x^2+1)-(1/n)∫sinnxd(3x^2+1)
=(1/n)sinnx(3x^2+1)-(1/n)∫(6x)sinnxdx
=(1/n)sinnx(3x^2+1)+(6/n^2)∫xd(cosnx)
=(1/n)sinnx(3x^2+1)+(6/n^2)*x*cosnx-(6/n^2)*∫cosnxdx
=(1/n)sinnx(3x^2+1)+(6/n^2)*x*cosnx-(6/n^3)*∫d(sinnx)
=(1/n)sinnx(3x^2+1)+(6/n^2)*x*cosnx-(6/n^3)*sinnx
假設為f(x)。
在算出f(pai)-f(0)可得到所求定積分的結果，這一步就請你算算阿。
2樓：匿名使用者
∫(3x^2+1)cosnxdx
=(1/n)(3x^2+1)sinnx-(6/n)∫xsinnxdx=(1/n)(3x^2+1)sinnx+(6/n^2)xcosnx-(6/n^2)∫cosnxdx
=(1/n)(3x^2+1)sinnx+(6/n^2)xcosnx-(6/n^3)sinnx+c
0到pai區間上的定積分=-
=(6/n^2)πcosnπ=(-1)^n*(6π/n^2)
求(x*sinx÷(1+cosx^2) 區間在0到π的定積分
3樓：陽光的遂緣
^(x*sinx÷(1+cosx^2)
=-∫√（62616964757a686964616fe59b9ee7ad94313334336437641+(cos x)^2)dcosx
令t=cosx
原式=-∫√（1+t^2)dt 上限是-1,下限是1
再令t=tanu （正切）,則dt=（secu）^2 du
原式=-∫√（1+（tanu）^2)*（secu）^2 du 上限是-π/4,下限是π/4
=-∫（secu）^3 du
=-∫1/（cosu）^3 du
=-∫cosu/（cosu）^4 du
=-∫1/（1-(sinu)^2）^2 dsinu
再令sinu=y,上限是-√2/2,下限是√2/2
原式=-∫1/（1-y^2）^2 dy
=-1/4*∫[1/（1-y）^2+1/(1-y)+1/(1+y)+1/(1+y)^2] dy
=-1/4*[1/(1-y)-1/(1+y)+ln|(1-y)(1+y)|)]+c (c為常數)
=-1/4*[2y/(1-y^2)+ln|1-y^2|]+c
再把上限-√2/2,下限√2/2代進去
得到原定積分=-1/4*(-4√2)
=√2定積分是積分的一種，是函式f(x)在區間[a,b]上積分和的極限。這裡應注意定積分與不定積分之間的關係：若定積分存在，則它是一個具體的數值，而不定積分是一個函式表示式，它們僅僅在數學上有一個計算關係（牛頓-萊布尼茨公式）。
一個函式，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函式，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。
4樓：匿名使用者
∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx
令x=π-u u∈[π，0]，則
∫0→π專 xsinx/(1+cos²x)dx
=∫π→0 (π-u)sin(π-u)/[1+cos²(π-u)]d(π-u)
=-∫π→0 (π-u)sinu/(1+cos²u)du
=∫0→π (π-u)sinu/(1+cos²u)du
=π∫0→π sinu/(1+cos²u)du-∫0→π usinu/(1+cos²u)du
=π∫0→π sinx/(1+cos²x)dx-∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx
所以屬2∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx=π∫0→π sinx/(1+cos²x)dx
∫0→π xsinx/(1+cos²x)dx
=π/2∫0→π sinx/(1+cos²x)dx
=-π/2∫0→π 1/(1+cos²x) dcosx
=-π/2 arctan(cosx) |0→π
=-π/2 [arctan(-1)-arctan(1)]
=-π/2(-π/4 -π/4)
=π²/4
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