1樓：匿名使用者
分段函式在某點偏導數存在,但可以不連續
2樓：空源張簡玄
切線與法線是相互垂直的，所以要先求偏導數。
為什麼對多元函式f來說，在一點處它的所有偏導數均存在，並不能保證f在該點連續？
3樓：老蝦米
以二元函式為例說明。z=f(x,y)在(a,b)處對x的偏導數存在,只能保證曲線 z=f(x,y).x=a在回(a,b)處連續。
同樣z=f(x,y)在(a,b)處對y的偏答導數存在,只能保證曲線 z=f(x,y).y=b在(a,b)處連續。
儘管上述兩條曲線均在(a,b)處連續，但z=f(x,y）是一個曲面，過（a,b,f(a,b)）的兩條曲線的連續性保證不了這個曲面在這點連續。就像燈籠的骨架在燈籠的底部是連續的，但不糊上紙燈籠是不防風的。
本質上，偏導數的核心是 偏。人們想以偏概全，所以會出問題。偏導數連續為什麼就保證了函式自身在這點連續的。
是因為連續的本質是反應事物與周邊事物的關係，當連續的時候，距離很近則二者就相差不大，就像剛才燈籠的例子，骨架很好，加上他的連續性，則周邊和它差不多。就像在骨架上糊上紙了。
偏導數在某一點處連續是什麼意思？
4樓：demon陌
某一點處連續，x=f（x,y)，在某個特殊點處是否連續，常見的是二元函式的分段點。
若要驗證在某一點是否連續，首先用定義式求對x、y的偏導數，高數書上都有，我這沒法打出來。
然後利用求導公式求偏導，這個就比較簡單了。同樣對x、y。
最後就是把這個特殊點帶入用定義式所求的式子，以及求導公式所求的式子，看兩邊的值是否一樣，一樣就連續，否則不連續。
連續你可以理解為函式為一條連續的不間斷的光滑曲線。
擴充套件資料：
x方向的偏導
設有二元函式 z=f(x,y) ，點(x0,y0)是其定義域d 內一點。把 y 固定在 y0而讓 x 在 x0 有增量 △x ，相應地函式 z=f(x,y) 有增量（稱為對 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 與 △x 之比當 △x→0 時的極限存在，那麼此極限值稱為函式 z=f(x,y) 在 (x0,y0)處對 x 的偏導數，記作 f'x(x0,y0)或。函式 z=f(x,y) 在(x0,y0)處對 x 的偏導數，實際上就是把 y 固定在 y0看成常數後，一元函式z=f(x,y0)在 x0處的導數。
y方向的偏導
同樣，把 x 固定在 x0，讓 y 有增量 △y ，如果極限存在那麼此極限稱為函式 z=(x,y) 在 (x0,y0)處對 y 的偏導數。記作f'y(x0,y0)。
在一元函式中，導數就是函式的變化率。對於二元函式研究它的「變化率」，由於自變數多了一個，情況就要複雜的多。
在 xoy 平面內，當動點由 p(x0,y0) 沿不同方向變化時，函式 f(x,y) 的變化快慢一般說來是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 點處沿不同方向的變化率。
在這裡我們只學習函式 f(x,y) 沿著平行於 x 軸和平行於 y 軸兩個特殊方位變動時， f(x,y) 的變化率。
偏導數的表示符號為:∂。
偏導數反映的是函式沿座標軸正方向的變化率。
5樓：匿名使用者
偏導數在某一點的導數等於函式在該點的函式值。
偏導數連續是證明全微分、多元複合函式的一個條件。
偏導數連續，說明函式可微，證明如下：
說明偏導數連續比函式可微還要強大，對後面定理的證明提供保證
6樓：福建省寧德市
即偏導數再某點的函式值等於該點的極限值
7樓：純理工的大學生
我想你是在證可微時遇到的困難。因為不確定該點偏導是否存在所以無法用公式法。但你可以用定義法證出在該點偏導存在，然後就可以用公式法(因為已知偏導存在了)求導函式證偏導連續。
8樓：匿名使用者
對於z=f(xo,yo)在（x，y）點連續意味著：y值不變時，存在∂z/∂x，同時x值不變時，存在∂z/∂y求採納
9樓：匿名使用者
二元函式連續跟左右極限有半毛錢關係…二元函式連續是用重極限定義的，討論偏導連續跟重極限有半毛錢關係。判斷偏導存在用的是導數定義式
多元函式在某點偏導數存在，啥結果也得不出來…某點偏導存在與極限存或連續在與否沒有關係，該點可微，能推出偏導數存在，反過來不成立。
10樓：西瓜蘋果胡桃
連續的定義不懂？還是偏導數的定義不懂？還是說"偏導數在某一點處連續"意味著什麼？
為什麼曲面方程的偏導數帶入某個點求出的是該曲面在該點的法向量，而曲線方程求導算出的是切向量？
11樓：匿名使用者
面是沒有「切線」的概念的，偏導數是曲面被用兩軸構成的平面切割後得到的曲線的切線的斜率，最後經過一些計算就可以得到他是法向量了
怎樣理解多元函式，連續與偏導存在的關係，偏導連續之間的關係
12樓：angela韓雪倩
多元函式連續不是偏導存在的充分條件也不是必要條件。
而偏導連續則是更強的條件，即偏導存在且連續可以推出多元函式連續，反之不可。
下面來分析，首先大家需要了解這些定義都是人定義出來的，可以反映多元函式的部分特徵。所以，只要掌握了這些定義的意義就可以看出其背後的本質，才能判斷定義間的相互關係。
多元函式在某點可偏導，可是可能在這點沿不同方向的極限不同，所以不一定連續。
而連續函式的偏導是不是一定存在，這個例子在一元函式裡也很常見，比如x的絕對值，在x=0的時候沒有導數。
偏導連續（是偏導連續哦！而不是偏導數存在+函式連續！是偏導數存在且偏導數連續），是可以推出可微的。
而可微是很強的結論，因為可以用十分特殊的線性函式來逼近的話，很多特殊的反例就不見了，而線性函式是連續的，這由定義可以看出來。
所以，偏導存在且連續可以推出函式連續，反之不能。
反例沿用之前的反例，函式連續，但偏導不存在。
13樓：筆記本在記錄我
【升級版答案】
偏導連續是高富帥，可以推出函式可微這個路人。函式可微這個路人可以推出函式連續和偏導存在（即可偏導）這兩個吊絲。吊絲之間沒有任何關係。
★一句話總結：高富帥→路人→兩個吊絲★
下面是原答案。
首先有兩點要說明一下。
1.偏導數存在且連續＝偏導數連續。
2.要分清函式連續和偏導數連續。可微指的是函式可微。
下面來回答問題。
1.偏導數存在與函式連續無任何必然關係。
2.偏導數連續是函式連續的充分不必要條件。
3.偏導數存在且有界是函式連續的充分不必要條件。（額外補充）（注意有界二字！）
4.偏導數連續是可微的充分不必要條件。
5.可微是偏導數存在的充分不必要條件。
6.可微是函式連續的充分不必要條件。
接著對於疑問點較多的第一點給予更詳細的解釋。（連續不能推出可導，這個大家都知道，我就不贅述了。）
函式連續通俗一點說，就是一元函式在曲線上沒有空心點，二元函式在面上的任何一個方向上沒有空心點。二元函式在某點連續要求面上的該點在其周圍360°的鄰域內都不存在空心。而二元函式有偏導的必要條件是該點在x軸方向和y軸方向上的鄰域沒有空心，充要條件即滿足偏導數的極限定義式。
所以，二元函式的偏導數無論是否存在，只能保證該函式在x軸與y軸方向上的連續性，無法保證該點360°鄰域上的連續性，因而函式的連續也是未知的。
最後說一句不太理解點踩的人是什麼想法，我說的這麼直白你都看不懂嗎。
14樓：一頁千機
先回答問題：
1.多元函式連續不是偏導存在的充分條件也不是必要條件。
2.而偏導連續則是更強的條件，即偏導存在且連續可以推出多元函式連續，反之不可。
下面來分析，首先大家需要了解這些定義都是人定義出來的，可以反映多元函式的部分特徵。所以，只要掌握了這些定義的意義就可以看出其背後的本質，才能判斷定義間的相互關係。
定義1.多元函式連續，f為多元函式，對於其定義域內任一聚點x，當一列趨近於x時，f（xn）趨近於f（x），則稱f在定義域上連續。需要注意的是，這裡的是可以用任何方式趨近x的，是任何方式！！
這就是很關鍵的一點了，後面的很多判斷也是基於此。
2.多元函式偏導存在，具體定義這裡不好打出來。我說一下，和一元函式十分類似的定義，把其餘的元視為常量，然後求函式值之差和自變數之差的商的極限即可。
這裡的關鍵是，只在一個方向上的極限！
3.多元偏導數存在且連續，結合1.2的定義即可。
所以，由1.2定義可以看出來多元函式連續和其偏導存在是沒有直接聯絡的。
多元函式在某點可偏導，可是可能在這點沿不同方向的極限不同，所以不一定連續。
而連續函式的偏導是不是一定存在，這個例子在一元函式裡也很常見，比如x的絕對值，在x=0的時候沒有導數。
而偏導連續這就很強了。我們這裡引入多元函式可微的概念，具體定義敘述很麻煩。
我的理解是類似於用多元線性函式來逼近一般多元函式。
而偏導連續（是偏導連續哦！而不是偏導數存在+函式連續！是偏導數存在且偏導數連續），是可以推出可微的。（這個證明我也沒有寫，參見北京大學出版社的《數學分析3》作者伍勝健）
而可微是很強的結論，因為可以用十分特殊的線性函式來逼近的話，很多特殊的反例就不見了，而線性函式是連續的，這由定義可以看出來。
所以，偏導存在且連續可以推出函式連續，反之不能。
反例沿用之前的反例，函式連續，但偏導不存在。
以上，有我沒有解釋清楚或者沒有看懂的可以追問。
謝謝**~
15樓：幻想鄉r站站長
口訣：偏導連續一定可微，偏導存在不一定連續，連續不一定偏導存在，可微不一定偏導連續
我傾向於用影象理解
偏導連續一定可微：可以理解成有一個n維的座標系，既然所有的維上，函式都是可偏導且連續的，那麼整體上也是可微的。
偏導存在不一定連續：整體上的連續不代表在每個維度上都是可偏導的連續不一定偏導存在：同理如2
可微不一定偏導連續：可微證明整體是連續的，並且一定有偏導，但是無法說明在每個維度上都是可偏導的。
16樓：c級殺手
不知道了 平時很少玩手機了
17樓：匿名使用者
20 怎樣理解多元函式，連續與偏導存在的關係，偏導連續之間的關係
二元函式在某一點連續，在這一點的幾何含義是什麼？
18樓：
這樣說吧，二元函式的幾何意義是一張空間曲面，那麼二元函式在某點連續，就可以想象以這一點位圓心，作一個小圓（你可以想象他任意大，只要不超過定義域，我們通常儘量取小一點），而這個圓對應到曲面上，圓對應的一小塊曲面是滿的，即沒有洞洞；或者你對應一元函式連續的幾何意義--那條曲線是完整的，沒有斷點的。
對比偏導存在的話，偏導的存在幾何意義就是曲面在這個點沿著x/y方向斜率存在。
多元函式在（a,b,c）點處存在全微分，則其所 有 偏導數 在該點某鄰域上連續是否正確？
19樓：混沌之黑魔導師
多元函式在（a,b,c）點處存在全微分，則其所有偏導數在該點某鄰域上連續是否正確？
版這句話是錯誤的！
因為多元函權數在（a,b,c）點處存在全微分是其所有偏導數在該點某鄰域上連續的必要不充分條件。
後面的那個疑問和前面的問題一樣，即使不是x和y方向的偏導數，任意兩個方向所構成的偏導數還是不一定連續！
偏導數在某點存在但不連續這點可能可微嗎
該點導數存在的充要條件是該點的左導數和右導數均存在且相等,並沒有要求導數在該點連續.比如若該點是偏導數的可去間斷點,顯然有該點的左導數和右導數均存在且相等,即該點導數存在,函式在該點可微.函式在一點處偏導數存在但不連續,那麼函式在該點可能可微嗎?答 不可bai微 可微性是最嚴du格的條件 根據zhi...
請問偏導數幾何意義不是曲面上某個方向上的切線斜率嗎？為什麼求
偏導是沿著x和y方向的切線的斜率。其法向量應該和切線垂直吧？高數問題。為什麼偏導數的幾何意義是曲面在一點的切線。那為什麼法向量也用偏導求 比如說直線x a y b z c,a,b,c 是直線的方向向量，也是直線的斜率 也就相當於切線斜率 而平面ax by cz 0中 a,b,c 表示平面的法向量，在...
如果曲面方程在某點的偏導不存在，這點法向量該怎麼求？如求x
法向量必須在f x，y，z 可微的條件下才能求，本題，該點處的法向量不存在。為什麼對曲面而言，求各變數在某一點的偏導數，即為這一點的法向量 1 首先從簡單開始，如果是平面f x,y 0 一般形式是ax by c 0 法向量是 a,b 因為任意一點 x0,y0 在平面上，a x0 b y0 c 0 那...