1樓：匿名使用者
首先你這個提問就是錯誤的。
「三角函式有沒有極限」，根據極限的定義：設f（x）在x=x0的某個去心鄰域內有定義，如果存在常數a，對於任意給定的正數k，總存在正數m使得當0＜|x-x0|＜m時，對應的函式值都滿足|f（x）-a|＜k，則把a稱為當x→x0時，f（x）的極限。
由這個定義就可以看到，我們必須說是當x趨近於哪個數或趨近於無窮大時，f（x）有沒有極限。極限必須結合函式所趨近於的點來說，才有意義。沒說趨近於哪個點，就直接說某個函式有極限或沒極限，都是錯誤的說法。
然後我們看所謂的極限的唯一性，是說任何函式在趨近於某個點時，它的極限情況是唯一的，是否有極限，是否極限為無窮大，有極限時，極限是多少，這些都將是唯一的。但是同一個函式在趨近於不同的點的時候，極限可能相同，也可能不相同。
所以你問能不能說能不能說趨於 0時的極限是0？只能說正弦函式和正切函式在x趨近於0的時候，極限是0。如果是餘弦函式，那麼當x趨近於0的時候，極限是1，餘切函式當x趨近於0的時候，極限是無窮大。
不同的三角函式在x趨近於0的時候極限不一樣。
根據你問的，估計你是說正弦函式，那麼正弦函式在x趨近於0和趨近於π以及趨近於kπ（k是整數）時，正弦函式的極限都是0，這沒問題啊。因為這是趨近於不同的點，極限相同或不相同，都沒啥奇怪的。
當然正線函式和餘弦函式、正切函式和餘切函式當興趨近於無窮大的時候，極限不存在。
所以不能問「三角函式有沒有極限」而應該問「某個三角函式（說出具體的函式來）在x趨近於某個點（說出具體的點來）的時候有沒有極限」，這樣才能回答。
2樓：拉布拉多的夜貓
極限必須結合函式所趨近於的點來說，才有意義。只能說正弦函式和正切函式在x趨近於0的時候，極限是0。如果是餘弦函式，那麼當x趨近於0的時候，極限是1。
餘切函式當x趨近於0的時候，極限是無窮大。不同的三角函式在x趨近於0的時候極限不一樣。
一、三角函式：
1、定義：
三角函式是數學中屬於初等函式中的超越函式的一類函式。它們的本質是任何角的集合與一個比值的集合的變數之間的對映。通常的三角函式是在平面直角座標系中定義的。其定義域為整個實數域。
2、相關概念：
①、正弦：sine（簡寫sin）[sain]，
②、餘弦：cosine（簡寫cos）[kəusain]，
③、正切：tangent（簡寫tan）['tændʒənt]，
④、餘切：cotangent（簡寫cot）['kəu'tændʒənt]，
⑤、正割：secant（簡寫sec）['si:kənt]，
⑥、餘割：cosecant（簡寫csc）['kau'si:kənt]，
⑦、正矢：versine（簡寫versin）['və:sain]，
⑧、餘矢：coversed sine（簡寫covers）[kəu'və:sə:d][sain]。
3、三角關係：
①、倒數關係：cotα*tanα=1，
②、商的關係：sinα/cosα=tanα，
③、平方關係：sin²α+cos²α=1。
4、三角規律：
六個三角函式也可以依據半徑為一中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值，實際上對多數角它都依賴於直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函式對所有正數和負數輻角都有定義，而不只是對於在 0 和 π/2弧度之間的角。
它也提供了一個圖象，把所有重要的三角函式都包含了。根據勾股定理，單位圓的等式是：x^2+y^2=1。
5、重要定理：
①、正弦定理：
正弦定理：在△abc中，a / sin a = b / sin b = c / sin c = 2r
其中，r為△abc的外接圓的半徑。
②、餘弦定理：
餘弦定理：在△abc中，b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cos θ。
其中，θ為邊a與邊c的夾角。
6、常用公式：
①、誘導公式：
公式一：
設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函式的值相等:
sin(α+k*2π)=sinα （k為整數）
cos(α+k*2π)=cosα（k為整數）
tan(α+k*2π)=tanα（k為整數）
公式二：
設α為任意角，π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係:
sin[(2k+1)π+α]=-sinα
cos[(2k+1)π+α]=-cosα
tan[(2k+1)π+α]=tanα
cot[(2k+1)π+α]=cotα
公式三：
任意角α與-α的三角函式值之間的關係:
sin(2k-α)=-sinα
cos(2k-α)=cosα
tan(2k-α)=-tanα
cot(2k-α)=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係:
sin[(2k+1)π-α]=sinα
cos[(2k+1)π-α]=-cosα
tan[(2k+1)π-α]=-tanα
cot[(2k+1)π-α]=-cotα
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係:
sin(2kπ-α)=-sinα
cos(2kπ-α)=cosα
tan(2kπ-α)=-tanα
cot(2kπ-α)=-cotα
公式六:
π/2±α與α的三角函式值之間的關係:
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
②、和差角公式：
（1）、三角和公式：
sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanα·tanγ）
（α+β+γ≠π/2+2kπ，α、β、γ≠π/2+2kπ）
（2）、積化和差的四個公式：
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
（3）、和差化積的四個公式：
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
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