1樓：晴天擺渡
y''+a²y=0的特徵方程為r²+a²=0
得r=±ai
(1)a≠±1時，
y''+a²y=0的通解為y=c1 cosax+c2 sinax
因為i不是特徵根，故設特解為y*=m sinx+n cosx
則y*'=m cosx-n sinx，y*''=-m sinx-n cosx
代入原方程y''+a²y=sinx得
m(a²-1)sinx+n(a²-1)cosx=sinx
得m=1/(a²-1)，n=0
故特解為y*=sinx /(a²-1)
故原方程的通解為y=c1 cosax+c2 sinax +sinx /(a²-1)
(2)a=±1時，原方程為y''+y=sinx，
特徵根為r=±i
y''+y=0的通解為y=c1 sinx+c2 cosx
因為i是特徵根，故設特解為y*=x(acosx+bsinx)
則y*'=a cosx+bsinx+x(-asinx+bcosx)=(a+bx)cosx+(b-ax)sinx
y*''=bcosx-(a+bx)sinx-asinx+(b-ax)cosx=(2b-ax)cosx-(2a+bx)sinx
代入原方程得2bcosx-2asinx=sinx，
得a=-½，b=0
故特解為y*=-½x cosx
故原方程的通解為y=c1 sinx+c2 cosx -½x cosx
2樓：匿名使用者
y″＋a²y＝0的通解是y=c1cosax+c2sinax.
a≠土1時設y=pcosx+qsinx是y''+a^2y=sinx①的解，則
y'=-psinx+qcosx,
y''=-pcosx-qsinx,
都代入①，(-p+a^2p)cosx+(-q+a^2q)sinx=sinx,
所以p=0,q=1/(a^2-1),
①的通解是y=c1cosax+c2sinax+sinx/(a^2-1).
a=土1時設y=x(pcosx+qsinx)是y''+y=sinx的解，
計算從略。
3樓：匿名使用者
特徵方程 r^2+a^2 = 0, r = ±ai
a = ±1 時， 設特解 y = x(psinx+bcosx)
則 y' = asinx+bcosx + x(pcosx-bsinx)
y'' = 2pcosx-2bsinx - x(psinx+bcosx)
代入微分方程 y'' + y = sinx, 得 2pcosx-2bsinx = sinx
p = 0， b = -1/2, 特解 y = -(x/2)cosx
通解 y = c1cosx+c2sinx-(x/2)cosx
a ≠ 1 且 a ≠ -1 時， 設特解 y = psinx+bcosx
則 y' = pcosx-bsinx, y'' = -psinx-bcosx
代入微分方程 y'' + a^2y = sinx, 得
-psinx-bcosx + a^2(psinx+bcosx) = sinx
p(a^2-1) = 1, b(a^2-1) = 0, p = 1/(a^2-1), b = 0
特解 y = sinx/(a^2-1)
通解 y = c1cosx+c2sinx + sinx/(a^2-1)
= c1cosx+c3sinx
4樓：匿名使用者
the aux. equation
p^2 +a^2=0
p=ai or -ai
letyg = acos(ax) +bsin(ax)
yp =c.cosx +dsinx
yp' = -c.sinx +dcosx
yp''= -c.cosx -dsinx
yp''＋a^2.yp ＝sinx
(-c.cosx -dsinx) +a^2. [c.cosx +dsinx] = sinx
(-d + a^2.d)sinx + ( -c +a^2.c)cosx = sinx
=>-d + a^2.d =1 (1)
-c +a^2.c =0 (2)
from (1)
d = 1/(a^2-1)
from (2)
c = 0
yp =c.cosx +dsinx =[1/(a^2-1)] sinx
通解y=yg+yp= acos(ax) +bsin(ax) +[1/(a^2-1)] sinx
5樓：茹翊神諭者
簡單計算一下即可，答案如圖所示
6樓：匿名使用者
先求相應齊次方程的通解，再求出原方程的一個特解，後相加即是原方程通解
求下列二階常係數線性非齊次微分方程的通解 y''+y=2+sinx
7樓：匿名使用者
你好！答案如圖所示：
很高興能回答您的提問，您不用新增任何財富，只要及時採納就是對我們最好的回報
。若提問人還有任何不懂的地方可隨時追問，我會盡量解答，祝您學業進步，謝謝。xd
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二階常係數非齊次線性微分方程怎麼求通解？
8樓：是你找到了我
二階常係數非齊次線性微分方程的表示式為y''+py'+qy=f(x)，特解
1、當p^2-4q大於等於0時，r和k都是實數，y*=y1是方程的特解。
2、當p^2-4q小於0時，r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一對共軛復根，y*=1/2（y1+y2）是方程的實函式解。
9樓：匿名使用者
特徵方程 2r^2+r-1=0 (2r-1)(r+1) r=1/2,r=-1 所以齊次通解 y=c1e^(x/2)+c2e^(-x) 設特解為y=ae^x y'=y''=y=ae^x 代入原方程得 2ae^x+ae^x-ae^x=2e^x a=1 因此特解y=e^x 因此非齊次通解是y=c1e^(x/2)+c2e^(-x)+e^x
10樓：匿名使用者
1.對於這種型別的二階非齊次微分方程，求解的方法：
（1）先求出對應的齊次微分方程的通解：y
（2）再求出該方程的一個特解：y1
則方程的通解為：y+y1
2.方程特解的求法：
形如y''+py'+qy=acosωx+bsinωx 的方程，有如下形式的特解：y1=x^k(acosωx+bsinωx)
其中 a、b為待定係數，k的取值方法如下：
（1）當±iω不是方程y''+py'+qy=acosωx+bsinωx對應的齊次方程的特徵根時，k=0
（2）當±iω是方程y''+py'+qy=acosωx+bsinωx對應的齊次方程的特徵根時，k=1
11樓：晴天擺渡
等號右端不是p(x)e^(ax)嗎
特解設為x^k q(x)e^(ax)
前面根據特徵方程求出兩個特徵根來，
看a是不是特徵根，
如果不是，那麼k=0；如果是單特徵根，那麼k=1如果是二重特徵根，那麼k=2
q(x)其實相當於p(x)，但是隻是p(x)的形式，即q(x)是與p(x)最高次數相同的多項式。比如p(x)=x²+3，那麼q(x)就設為ax²+bx+c，求出a,b,c
求下列二階常係數非齊次線性微分方程的通解
12樓：匿名使用者
（7）解：∵齊次方程y"+3y'+2y=0的特徵方程是r²+3r+2=0，則它的特徵根是r1=-1，r2=-2
∴此齊次方程的通解是 y=c1e^(-x)+c2e^(-2x) (c1,c2是積分常數)
於是，設原方程的解為 y=ax+b，代入原方程，化簡得 2ax+3a+2b=2x-1
==>2a=2，3a+2b=-1
==>a=1，b=-2
==>y=x-2
則 y=x-2是原方程的一個特解
故 原方程的通解是y=c1e^(-x)+c2e^(-2x)+x-2。
二階常係數非齊次線性微分方程題
13樓：匿名使用者
虛根一樣的，不影響，r=1±i
通解為 y= c1*e^(1+i)x+c2*e^(1-i)x=e^x(acosx+bsinx)
再求非齊次方程的特解，設特解為 y=ce^x代入 ce^x-2ce^x+2ce^x=e^x, c=1因此原方程通解為：y=e^x(acosx+bsinx+1)
二階常係數非齊次線性微分方程特解怎麼設？
14樓：demon陌
較常用的幾個：
1、ay''+by'+cy=e^mx
特解 y=c(x)e^mx
2、ay''+by'+cy=a sinx + bcosx
特解 y=msinx+nsinx
3、ay''+by'+cy= mx+n
特解 y=ax
二階常係數線性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是實常數。自由項f(x)為定義在區間i上的連續函式，即y''+py'+qy=0時，稱為二階常係數齊次線性微分方程。
若函式y1和y2之比為常數，稱y1和y2是線性相關的；若函式y1和y2之比不為常數，稱y1和y2是線性無關的。特徵方程為：λ^2+pλ+q=0，然後根據特徵方程根的情況對方程求解。
擴充套件資料：
通解=非齊次方程特解+齊次方程通解
對二階常係數線性非齊次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)
其中q(x)是與p(x)同次的多項式，k按α不是特徵根、是單特徵根或二重特徵根（上文有提），依次取0,1或2.
將y*代入方程，比較方程兩邊x的同次冪的係數（待定係數法），就可確定出q(x)的係數而得特解y*。
多項式法：
設常係數線性微分方程y''+py'+qy =pm
f″(λ)/2!z″+f′(λ)/1!z′+f(λ)z=pm(x) ，這裡f(λ)=λ^2+pλ+q為方程對應齊次方程的特徵多項式。
升階法：
設y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，當f(x)為多項式時，設f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此時，方程兩邊同時對x求導n次，得
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……
y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!
y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!
令y^n=a0n!/q(q≠0),此時，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)與y^n通過倒數第二個方程可得y^(n-1)，依次升階，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一個特解y(x)。
15樓：匿名使用者
（1）y」+3y』+2y=xe^-x
特解 y*=ax+b（這是錯的，最起碼得有個e^-x吧？）（2）y」+3y』+2y=（x² + 1）e^-x特解y*=x（ax²+bx+c）e^-x
-------------------------------1、xe^-x前的多項式為x，所以設qm(x)是qm(x）=ax+b,由於-1是特徵方程的單根，所以特解為
y*=x(ax+b)e^(-x)
2、(x²+1)e^-x前的多項式為二次，所以設qm(x)是qm(x）=ax²+bx+c,由於-1是特徵方程的單根，所以特解為y*=x(ax²+bx+c)e^-x
把特解帶入原微分方程，待定係數法求出引數a、b、c。
二階常係數非齊次線性微分方程怎麼解怎麼設
1先寫出特徵方程,解出r根 2在看f x 為哪種形式,設出特解形式。要記得這些公式 二階常係數非齊次線性微分方程的特解形式怎麼求?第一題,多項式右邊,可以猜一個同次的多項式解 第二題,d 1 d 2 y xe x 此時發生共振,從而猜測特回解答 ax bx 2 e x 第三題,d 1 d 1 y x...
已知某二階常係數線性非齊次微分方程的通解為y C1ex C
由題意，對應齊次線性方程的通解為y cex ce x，因此 特徵方程為 專 1 1 0，即 2 1 0 可見，對屬應的齊次方程為y y f x 將特解y 12 1 10cos2x代入，得 f x 12?1 2cos2x sin x，故此微分方程為y y sin2x 故選 d 通解為y c1e x c...
可降階的高階微分方程和二階常係數齊（非齊）次微分方程和尤拉方程，在做題時怎樣區分用哪種方法
首先你要判斷是哪種微分方程，根據特點選擇方法 高等數學都學什麼？高等數學主要內容包括 極限 微積分 空間解析幾何與向量代數 級數 常微分方程。指相對於初等數學而言，數學的物件及方法較為繁雜的一部分。廣義地說，初等數學之外的數學都是高等數學，也有將中學較深入的代數 幾何以及簡單的集合論初步 邏輯初步稱...