1樓：匿名使用者
答：32πa⁵/15
方法一：標準球座標
x²+y²+(z-a)² = a²
x²+y²+z² = 2az
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = 2acosφ
由於整個球面在xoy面上，所以0 ≤ φ ≤ π/2
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr
= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)
= 32πa⁵/15
方法二：廣義球座標
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = a + r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = a
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²sin²φ+(a+rcosφ)²) * r² dr
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr
後面2arcosφ* r²部分的積分應該等於0
剩下r² * r²就好算了
方法三：平移，其實跟廣義極座標一樣原理
x = u
y = v
z = a + w
dv = du***w
ω方程變為：u²+v²+w² = a²
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫_(ω') (u²+v²+(a+w)²) du***w
= ∫_(ω') (u²+v²+w²+a²) du***w + ∫_(ω') 2aw du***w
後面那個利用對稱性得結果為0，前面的可直接用球座標
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²+a²) * r² dr
= (2π)(2)(8a⁵/15)
= 32πa⁵/15
如何利用球面座標計算下列三重積分？
2樓：匿名使用者
答：32πa⁵/15
方法一：標準球座標
x²+y²+(z-a)² = a²
x²+y²+z² = 2az
x = r sinφ
62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333365633836 cosθ
y = r sinφ sinθ
z = r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = 2acosφ
由於整個球面在xoy面上，所以0 ≤ φ ≤ π/2
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π/2) sinφ dφ ∫(0,2acosφ) r² * r² dr
= (2π)∫(0,π/2) sinφ * (1/5)(32a⁵cos⁵φ) dφ
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)∫(0,π/2) cos⁵φ d(cosφ)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)[ cos⁶φ ]|(0,π/2)
= (2π)(1/5)(32a⁵)(- 1)(1/6)(0 - 1)
= 32πa⁵/15
方法二：廣義球座標
x = r sinφ cosθ
y = r sinφ sinθ
z = a + r cosφ
dv = r²sinφ drdφdθ
ω方程變為：r = a
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²sin²φ+(a+rcosφ)²) * r² dr
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r² + (2arcosφ + r²cos²φ)) * r² dr
後面2arcosφ* r²部分的積分應該等於0
剩下r² * r²就好算了
方法三：平移，其實跟廣義極座標一樣原理
x = u
y = v
z = a + w
dv = du***w
ω方程變為：u²+v²+w² = a²
∫_(ω) (x²+y²+z²) dv
= ∫_(ω') (u²+v²+(a+w)²) du***w
= ∫_(ω') (u²+v²+w²+a²) du***w + ∫_(ω') 2aw du***w
後面那個利用對稱性得結果為0，前面的可直接用球座標
= ∫(0,2π) dθ ∫(0,π) sinφ dφ ∫(0,a) (r²+a²) * r² dr
= (2π)(2)(8a⁵/15)
= 32πa⁵/15
利用定積分的幾何意義，計算下列定積分
定積分是積分的一種，是函式f x 在區間 a,b 上的積分和的極限。注意定積分與不定積分之間的關係 若定積分存在，則它是一個具體的數值 曲邊梯形的面積 而不定積分是一個函式表示式，它們僅僅在數學上有一個計算關係 牛頓 萊布尼茨公式 擴充套件資料 定積分定義 設函式f x 在區間 a,b 上連續，將區...
三重積分，為什麼用先二後一和柱面座標計算的結果不一樣啊？求教
中來先二後一的做法當自 中，分母上的根號裡的xx yy寫成3z是錯的。中稱為柱面座標的做法，事實上是先二後一的做法。此做法得到了本題的正確結果28 3。本題如果用柱面座標計算，應該分成兩塊。我們粗略地說積分割槽域形如一個碗，則自碗底向上的圓柱體是其中的一塊，此圓柱體外 並碗內之殼是另一塊。高等數學中...
用極座標法計算二重積分x 2 y 2dxdy D x 2,y x,xy 1所圍成區域
積分割槽域 arctan 1 4 4 2 sin2 r 2 cos x 2 y 2dxdy arctan 1 4 4 d 2 sin2 2 cos cos sin 2rdr 1 2 arctan 1 4 4 cos sin 2 2 sin2 2 4 cos 2 d 1 2 arctan 1 4 4 ...